平等強さのはりの応力やたわみの計算方法を演習しよう！【材料力学の演習（初級編）】

材料力学の演習（初級編）：平等強さのはり

00:00 問題を解く準備
00:22 問題１
01:32 問題１の答え
04:03 問題２
04:58 問題２の答え
09:17 まとめ

【書き起こし】(2) 平等強さのはりの応力やたわみの計算方法を演習しよう！【材料力学の演習（初級編）】 

(00:01) こんにちはこのシリーズでは 身近でイメージしやすい演習問題を解いて 材料力学をもっと理解していきましょう 今回は平等強さの針です今回の問題はこれ らの動画で紹介した内容をもとにしてい ます問題に進む前にぜひこちらの動画を ご覧くださいそれでは問題1です今回の 問題1は復習でこの動画の問題1と同じ です 海辺で釣りをしていて 魚を釣り上げた時に 釣り竿に生じる応力やたわみを考え ましょう 釣り竿を持つ手を動かないように固定し ます手から釣り竿の先端までの長さが 1000mm直径は20mmです実際の 釣り竿は先端が細くて根本が太いですが 今回は先端から根元までの太さを一定とし ます 竿の縦断性係数は5gbpaですこの 釣り竿で1kgの魚が釣れました 魚を海からあげて
(01:05) 魚が大人しく動かないとき問題1の1とし て 釣り竿に生じる最大応力はいくつでしょう か 次に問題1-2です 釣り竿はどれだけたわむでしょうかそれで はこの問題を解きましょう 一旦動画を止めて 解き終わったら答えに進んでください 問題1の答えですまず問題1-1の答え です 釣り竿の根元は手で固定されて先端には魚 が重りとしてぶら下がっているのでこの ように 根元が固定されて先端に集中荷重が作用 する方持ち針と考えます 魚の重量が1kgなので 針の先端に作用する荷重Fは重力加速度を かけて1かける9.81で9.812 先端からの距離をxとすると 梁に作用する曲げモーメントMは力と距離
(02:10) をかけてFXですこの曲げモーメントに よって針に生じる曲げ応力シグマは Z分のMですここでZは断面係数で 断面が円のとき直径をDとして32分の PD3乗です 断面係数の詳細はこの動画で紹介している のでご覧ください 応力の式に断面係数の式を代入すると曲げ 応力シグマはこの式になりますこの式から Xが大きいほど応力が大きくなるので最大 応力はxが最大の1000mmになる根元 で生じることがわかります 数値を代入すると最大応力は 12.5mpaと求まりますこれが問題1 の1の答えです 次に問題1の2の答えです 針がこのようにたわむ時を考えます 先端に集中荷重Fが作用する 片持ち梁のたわみYはこの動画で紹介した ように
(03:13) Xの3次式で表されますこの式の導出方法 は先ほどの動画で紹介したので今回はこの 式を使って進めます 式の導出に興味のある方は先ほどの動画を ご覧ください 最大たわみは先端すなわちX=0の条件で 生じるので上の式にX=0を代入すると この式になります ここで愛は断面に地毛面とで 円形断面の断面二次モーメントは64分の ID4乗です 断面2次モーメントの詳細はこの動画で 紹介しているのでご覧ください 最大たわみはIMAXの式がこれで数値を 代入すると 83.3mmと求まりますこれが問題1の 2の答えです 問題2ですここからが新規の問題です問題 1では先端から根元までの直径が一定でし たが強度を下げずにつまり最大応力を増加 させずに先端から根元で円形断面の直径を
(04:20) 変化させて釣り竿を軽くしようと思います 直径は変えますがどの位置の断面も円形を 保つこととします 問題2の1として最も軽い竿の形状を求め ましょう問題2-2として 竿の重量は問題1の差をの何倍でしょうか 問題2の3として 竿のたわみは問題1の差をの何倍でしょう かそれではこの問題を解きましょう 一旦動画を止めて 解き終わったら答えに進んでください [音楽] 問題2の答えですまず問題2の1の答え です問題1-1から曲げ応力はこの式です 最大応力は根元のX=1000mmで生じ て 12.5mpaでした 根本以外の応力はこれより小さいので 補足する余裕がありますしたがって 竿を軽くするには
(05:24) 根元以外の応力も12.5mpaになる まで直径を小さくすれば良いですねこの ようにすべての断面の最大応力が同じ針の ことを平等強さの針と言います 根本の直径をD0 応力をシグマ0として平等強さの針になる にはすべてのxでシグマゼロ=PD3畳分 の32FXが成り立てば良いです 従って直径Dはこの式になります 根元の直径D0を使って表すとこうなり ます 求めた平等を強さの針の直径は先端からの 距離Xの3分の1乗に比例します 図を書くとこのように先端に行くほど細く なる形状になります 実際の釣り竿も先端に行くほど細くなって いますが先端が折れたりはしないですよね それは今回 求めた平等強さの梁のように先端を細くし ても強度は低下しないためです 次に問題2の2の答えです問題1の断面が
(06:30) 一定のハリと今回 求めた平等を強さの針の重量を比較し ましょう 材料が同じつまり密度が同じであれば体積 を比較すれば重量の比較ができますね 断面一定の針は円柱形状なので体積はこの 式になります 平等強さの張りは直径が変化するので 差を全体を積分して体積を求めます問題2 の1で求めたようにDはこの式なので代入 するとこの式になって 積分するとこうなります体積を比較すると 平等を強さの針は断面一定の針の0.6倍 になることがわかりますこれが問題2の2 の答えです 次に問題2の3の答えですたわみの微分 方程式を使って平等強さの張りのたわみを 求めましょう たわみの微分方程式の分子にある曲げ モーメントMはFXです分母にある断面二 次元と愛は64分のパイディ4乗で問題2
(07:36) の1で求めた式を代入するとこうなります 整理するとたわみの微分方程式はこの式に なります この微分方程式を解いていきましょう 積分するとたわみかくdydxは積分定数 C1を使ってこうなりもう一回 積分するとたわみは 積分定数c2を使ってこうなります 境界条件として 根元のX=Lでたわみ角diydxが0に なるのでこれを左の式に代入するとC1が 求まりますもう一つの境界条件として 根本のX=LでたわみYも0になるので これを左の式に代入するとC2も求まり ますC1とC2が求まったのでたわみの式 はこうなります最大たわみは先端のX=0 で生じるので最大たわみが求まります 問題1の断面一定の針と今回の平等を強さ の針のたわみをグラフで示すとこうなり
(08:40) ます 平等強さのハリは細くなる先端のたわみが 大きくなります最大たわみは 断面一定の針がこの式平等強さの張りが この式なので 針の長さや根元の直径の大きさに関わらず に1.8倍になることがわかりますね 今回は最大応力を増加させることなく軽量 化できる平等を強さの梁について形状や たわみを求めました強度が低下せずに 軽く先端のたわみを大きくできることから 釣り竿に適した形状ですね まとめです先端から根元までの全断面の 最大応力が同じ針を平等を強さの張りと 言います長さ得る 縦断性係数E 円形断面で根元の直径D0先端に荷重Fが 作用する平等強さの針の直径Dとたわみは これらの式で表されます最大 応力が同じ直径一定の針と比較して重量は 0.6倍たわみは1.8倍になります
(09:47) 今回のご視聴ありがとうございましたこの チャンネルでは 材料力学をわかりやすく紹介したり 材料力学を生活に役立てたりしています 是非それらの動画もご覧ください チャンネル登録と高評価もお願いします それでは次回の動画でお会いしましょう

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このシリーズでは、材料力学を生活で役立てられる様に、身近でイメージしやすい演習問題を解いていきましょう。

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