「制御系設計論」の講義動画です
この動画では,状態方程式の解(復習)と状態フィードバック制御について説明しています.
0:00 準備
1:10 状態方程式の解
7:25 システムの安定性とリアプノフの安定理論
15:35 可制御性と可制御性グラミアン
21:15 状態フィードバック制御
29:20 極配置の勘所
【書き起こし】制御系設計論2021-07_漆Part2-1:状態方程式の解と状態フィードバック制御
(00:01) 皆さんこんにちは皆んですこの動画では 状態空間に基づく設計の話をしていきます これまで玄達関数モデルを使って制御系 設計をするという話をしてきましたが今回 は状態方程式で表せるシステムに対して コントローラー設計するという話になり ます 動画の前半では状態方程式で表せる システムの振る舞いと安定性について簡単 におさらいをします そしてその後状態 フィードバック制御とその設計法は曲は曲 配置方ですねそのあたりの説明をしていき たいとおもいます 講義ノートはこの動画では5ページあり ます まず準備をよろしくお願いします こちらは1ページ目ですね ん2ページ目 1ページ そして4ページ名 はいこの動画最後こちらの5ページ目に
(01:06) なります どう準備はできましたでしょうかそれでは こう技能を始めていきたいとおもいます 状態空間に基づく設計ということでまぁ ここでのですねえぇまぁシステムここで 考えるシステムはこちらに書いてあること 状態方程式ば x.いう高齢 x パス bu という形で書かれているとします 表されているとしますこの a システム に対してコントロールは積極カードれて いくということですね えっとこのシステムこの x がこれ状態 ですねシステムの状態です 今 n 次元であるというふうにしておき ましょうアレックスは n 次元の ベクトルであると で融和へと今これ入力なんですけどもこれ m 次元という風にしておきます であのこの出力方程式個室の豪邸すといい ましてこの y が出力 なんですけれども出力は今 l 次元です ねはい lgm ベクトルだというふうに しますそうしますとこの a と b と c ですねこちらは8映画ですね n
(02:11) かける n の 行列で b がは n をかける m の 行列 そして c 蛙かける n の8列になっ ているわけですね 一般的なあの物ビシッと機械システム なんかをですねええ 微分方程式で表されますがそれはですね 越冬1000形であればこのようにですね 状態方程したことして表すことができると で a と b と c の中には物理 パラメーターが入ってくるというわけです ね えっとこの一般形をですねえっと入力が m 次元で出力は l 次元ということでた 入力た出力 ko ですね扱えるモデルに なっているわけですけれども この動画ではいいですね m = l =1という風にしておきたいと思い ます立ち位置入力1出力ですね1入力1 出力型だと思ってへと話をしていきたいと おもいます またがところどころですね一般形の形でで 説明が進むがありますが計算するところは ですね h 入力出力の問題が出てきます
(03:18) のでまぁ8 m 以降レール以降一だと 思ってえっと計算をしていただければと 思います ところでこの状態方程式のねこれ微分方程 して書かれているわけですがこれの 振る舞いですねシステムをフル by どう なのかといいますと こちらの下に書かれているようですねこの に書いてるようですねこういうふうにです ねえっ都会の振る舞いを求める計算する ことができるわけですね この微分方程式を解きますとこういう風な 回見慣れてくるというわけです でこの海の中に注目したいとかどこかと 言いますと8ここですね 皆さんもすでに何回も編集をしてきたと 思いますがいいの at 場というのこれ あの行列ですけれどもこれが登場します 俺ですね料率指数関数と言いましたね 場合によっては専用列と4倍もありますが
(04:26) 擁立指数関数でこだわって計算したかと 言いますと いいの at 場ですねあのいろんな対角 化してあの求める方法となのかありますが とまぁ定義で行くとですねえっと足数だと 思ったの指数関数だと思って頂ければと 思いますが同じだと思っていただければ 大丈夫なんですけれども 中身があの a の行列 a が入って いきますのでそこだけ違うということで まあこういう風なですね無限級数になって いるというわけですがこの計算する時です けども えっとこういうふうに計算していたと思い ます えっと si マイナスへね si – a のインバースの約ラプラス変換 目はいこれで93ができるというわけです ねなので日頃シリーズ関数の計算しなさい とこの8システム振る舞いを求めなさいと 言われたらまあこのんですねはい これを計算して陽子数感想を求めて海の 振る舞えシステムの振る舞いを調べると いうわけですね ええっとこの1個目ですけども歩まだこの 1口目ここの部分ですね初期値の幸ですね
(05:32) 初期位置で8月地がどのようにその降る前 に影響は及ぼすのかっていうのがラストは この第一稿なんですが名前がついていまし てこれ0入力を通っています まあ初期値だけでえっと古厩決まります猫 0入力オートという風に呼んでいます で第2項の方何かと言いますとこれは入力 で決まる振る舞いですよね a なので これ上ゼロ状態オートですね こういうふうによります まあ合わせたがこの x 全体のことは 完全オートなんかと呼んだりもしますか第 1子のことをゼロ入力オート第2項ゼロ 状態オートと呼ぶことは覚えておいて ください でこの第2項なんですけども本第2項は どうやって計算するのかということなん ですけれどもこれは畳み込み積分になっ てるんですね never 戸建計算するかですが張って
(06:40) 計算すれば んですけども こういうふうにですね8 s アーマー sa インバーストーン 鈍いという s かけてと逆クロスだ+ 変換するとこの積分値が出てくるという ことになります実際計算する時には行列室 カーサを計算してまーその8情報使って 直接積分をするというやり方があの 得られることがありますがまあこういう絵 の畳み込み積分の形ですねだと思って逆 アップ戦艦で計算してもらっても大丈夫 です いうことです これがまあ振る舞いの説明でしたねでここ からですね安定性の条件を確認しておき たいと思います で安定性ですねこの状態方程式の場合は 漸近安定 殿筋安定性というものを考えていることに なっています まあこれはあのえっと時間の経過とともに ですね状態 x が0に漸近的に収束し ますよというまあそういう8 a 出合う
(07:45) 訂正ですけども はの実はあの 燃竜関数のところなんてつと少し違いまし て伝達関数何訂正は dib 桜庵てーと言いました new するカーンといいですね 入出力あんっ new するかうんていと飲んでたんです けどもえっとこれあのこの場合の安定性は 漸近安定性になります 漸近安定性漸近安定であればですね bibo 安定で b 愛猫ンっていうの は誘拐の入力入れた時に誘拐な出力になり ますよっていう8まあそりゃん訂正ですが 8逆が成り立たない終わったりという わかるわかりますかねあの bib 安定だからといって前記安定とは 限らないということですねまあこういう 関係があります えっとシステムの振る舞いはですね今 ちょっと自己自由形ですけども x とっ てこれ x まあ入力のないシステムだと 思ってくださいこれの f 回のフル真山 このようになるわけですけども このいいの at 上これが失業率指数
(08:48) 関数ですよねえっ この行列指数関数の中身がどうなっている のかって言いますとまぁ実際系させて 頂ければと思うんですけども8 a の 固有値ラムダ愛を用いて こういうふうにかけます いいのラムダ it 譲渡 いいの多項式 の席 えっ の線形結合で表されていますはいえーと ですねラムダいっていうのは a の固有 値ですねのでいいの at 上の中身と いうのは8その固有値を用いていいの ラムダ愛情ですねこれといいの多項式の べき理由のた公式の席ですねはいねの線形 結合で表されているということになってい ます このいいのな無駄 it 場ですけども ドラム台ですね右肩載ってますので 8コラムだ愛の二粒が付であれば
(09:56) 8時2分は付であれば 安定ということになるわけですね 安定ですね xt は 漸近的にゼロに予測すると こんな感じになっているわけですね えっとまぁラムダイエット服装共役 右側まあ複素数をするとなまぁ alpha plus データージェッタとするとです ねまあいいのラムダ it 乗っていうの はですねえっと言いのあるファーティ場と いいの j bay ターノ at 場 ですかねママの方になって名はこのこちら オイラーぬ公式使ってもらうと cos + j サインですねなりますけども 床の良いのあるファーティ上の方で収束が 決まると収束かはっ3学期張るということ なので
(10:59) あの アルファーが付であれば右側ですよねと いうことで8ラムダ愛の実が付であれば 安定ということになりますすべてを異常 状態の全て要素がゼロにしろ側手 一方でですねラムダ愛 の二粒があ 以上になるものがある場合にはこれ不安定 ということになります xt がですねえっとまぁ無限大に破産 する場合まああります一定自動さんと 丸まる場合もありますけれども不安定と いうことになります ちょっとここであの補足なんですけどもう ちょっと後あの後でも 登場しますので一応説明しておきたいと 思いますがあのリア本の安定理論まあこれ 非線形姿勢も含めての安定理論があるん ですけども これをでですね8 どどういう条件でですね8安定さ極まるの カーテンを説明しておきましょう リアプノフの安定挑んだですねこの vxe
(12:03) コレックス天地 px 抵抗の二次形式の ですねこのあのリアプノフ買う数の候補 っていうの考えるんですけどもまぁこう いう関数を考えます aこの関数後二次形式でえっとこれ p が ですね 合わせてへ であればですねえっとまぁこれ桜庵方に なると デート必ず性能対応 x コレックスへい x-平面ですけども x-平面上に法案が あってその1があの必ず精鋭-6上野 ウエブ web を上を向いているという ことになっています x は8 xt これ x-そのまあ快生 堂になってるんですけども この方ですね大安のこの縁をこう グループ動きながらですねを減点収束して いくとこれ安定ということになるわけです ね で越冬なので干支これ工具5位の考えです ね どこの微分ですね時間 のこの回軌道に沿った時間微分店の考えて みるとですねえーとこれあの子に最終的に
(13:09) この限定2周あの 右側させたいわけですからこれはの 微分がですね付であれば高 落ちていくわけですね 自分の不出なかった止まったりとかどっか 行ったりするんですけども上にたりするん ですけどもところ微分 時間微分がルーフであれば高 うっとこ限定まで落ち着いていくという ことなので 8こういう条件を満たしていればですね えっと安定ですよということですねこう いうのを持ってきてこれを満たしていれば ok と安定ですということになるわけ ですけども この実際このえっと vx のの時間微分 ての考えてみるといいですねここでビッグ &リーブんするんですが a こういうふうに書けますよねx.天地 px プラス x 店ちー px トッド ということになりますね でこの x とっとと x この x ほとんど頃に上野ですねえと x てこれ x を代入するとこういうふうにかけると x 天地 px プラス x 天地 p いうことに
(14:13) あっていくを抜けてました8 aa 10 者 a 天地ですねすいません 展示ですけども あえっとこういうふうにかけるわけですね はい ここもちょっと抜けていますね低1° ですねえくビッグそっとが aax なの でえっとその展示を取ります x 天地 a 天地で px 猫のようにかけます x 天地と x でえっと くくってあげるとですね中身は護衛天地 p + pa ということになります これが付であればいいわけですのでこの a 天地 p + pa がまあ不停であれば いいということになってますのでへとこの a 天地 p + pa が不定になる ようなまあ制定対称な t が存在すれば 8それシステム安定ですよということに なります まあこれらの利益のサウンドエリオンの まああの 線形システムバージョンということになっ
(15:16) ています でまぁここでねっとりあえず安定性の話は これで終わりたいと思います 次はですねえっとこのシステムを今シス不 安定が不安定化というのはわかりましたの で今度ところ marmot chan と 安定化したりとか8そアンテナものを安定 化したりとかまあそういったことをですね えっとやっていくわけですけれどもその時 にはですね可制御性という性質を満たして おく必要があったとまあ自由2へと 振る舞いを変えるためには 可制御性というのが大事になってきますよ という話ですね 可制御性っていうのはですね a 棟は あのイメージ図ですけどもある x0 で初期値 x0があってまあそれがですね ダル夕食の時間で8目標となる値までへと 到達できるまあそういう制御入力が存在し ていますよということですよね 厳密にはあの x0カースタートして tf までに atf の段階で悦0に収束する ということがマカ制御生なんですけども
(16:23) ん どうもそれを調べましょうということです ねはいあの xf というあのゼロじゃ ないところに到達できることと加藤達成て いいましてえっとまぁ連続時間で1000 形4選の場合はですね8実はあの火星が西 とか東座性は度10日ですので同じ結果に なりますのでテーマか整合性という風に 呼んでいます えっとこの火星が生ですけども稼ぐせどう あってチェックするのかということなん ですが とこれはの火星が生行列を まあ作りましょうという話をしたと思い ますはの他にも色々やり方はありますけど も 8公有化制御制御ですね8ビート ベイビー 年店全店と 和英の事情 b とかですね命の n – 1条 b ということでこういう行列を 作るということになります デコレバーの n かけるへの行列に正 位置入力5色の場合はですね n かける n の行列になりますのでこれが8 フルールアウト blank もしくは生息であれば a とか制御で
(17:29) あるということになってますね いうことでダンク vc とかで他メンと vc というのは計算してランクは良いの であればまあ生息ですよと a行列式計算してゼロじゃなければ生息 ですよということでこれをチェックして あの生息であれば化制御というは結論に 至る何判定ができるというわけです ねえっとかせえよ say scc の稼ぐであればですね実は フィリーのフォワード入力をつくってまあ こういうですねえと目標ある tf 2 xs に到達させるは入力っていうのを 作ることができますフィードパワーズ入力 で実現することができます これがえっとこちらに書いてある知的なん ですねちょっとごちゃごちゃしてるんです けれどもこういう式でこのこれ フィードフォワード入力ですねえっと フィードフォワード入力なんですけども まぁの初期状態の両方と目標時の情報です ねを使って 生後入力を作ればですね実は8 xf tf のてぃ国で xs に到達させることが
(18:34) できます ただの 本当かなっていう方はですねこの式を こちらのもとのですね元に戻りますけども こちらの海のお子ですねこれ代入して いただいてちょっと計算してもらえばと 思いますある txt f の時の値は どうなるのかっていうのをちょっと計算し てもらうとですね a ちゃんと xt xf に到達させる ことができるということは確認することが できます うってやってみてください 越冬 ワークそうですねでこのように xdf 時刻 tf のところでですね xf にすることができると できますこれでいいんじゃないかと思うん ですけれどもはい姉とこの実はこのダブル c って書いてますがこれあの名前はつい
(19:38) てましてこれか制御性グラミアンっていい ます なんか強そうですね 浅井行政グラミアということになります でまぁ可制御性グラ3&これ逆行列そこに 使ってますので あの可制御性のまああの 桜花な条件としてはですねこのぱ制御生 グラビアが生息であるということにもなっ てます ただあのこれシード part 入力なの でですねえっとまぁこうできるんですよ xat x 時刻 tf のだところで ですね8 xf に状態を保っていくこと はできるんですけども 8こういうことはできません えっと時刻 df る先の二幹二国でです ねえっと xf にとどまり続けることを 期待したいんですけどそれはできない ますえっとちょっと不安定デールと状態を
(20:41) 動いていく場合はですねこういうことが できなくなりますのでこのフィードはずに 送らで仕方ありませんそれから8がイラン があればですねえとま理想的な状態でと モデル籠さもなければですねえっとこの フィードフォワード入力で到達させること ができるんですけどもがイランがあったり とかモデル濃さがあるとですね8エッグ 政府に到達するかどうかわからないという ことですね 一波のフィードフォワード入力の歯が限界 であるといっ ねえなので井戸バックですね フィードバック制御考えていきたいわけ ですねということでえーあー本来ですね 状態フィードバック西洋に安定ですね aiko フィードバック西区です状態 フィードバック制御もすでにあの状態 フィードバック制御の映画イオはあのう 授業でお伝えしましたけれども8それを もう少しあの掘り下げていきたいとおもい ます で今やりたいことはですねえっとぉ 状態 x の情報を使って制御入力を決定
(21:45) しますよということなんですねハイあの 状態フィードバックセグというのは状態 x 状態 x の情報を使って制御入力を決定 数にコントロールはこう入るわけですね ウォーター x の情報を使って生後に鱗 決定すると a こういうでスヌープをと フィードバックを作りたいということです 状態フィードバック制御で考えている制御 というものはですねまぁの漸近安定性 ちょっと思い出してもらえればと思います が x を漸近的にゼロに収束させたい ですね 限定に収束させたいこれがえーと今やり たいことだね上古レギュレーター制御と 言います ちょっと読み上げると生後対象 p が 与えられた時は任意の初期状態 x0 マイク0に対して 状態変数 xt を xt をえっとです ね状態ヘンク xt を漸近的にゼロには 制御する収束させる a子レギュレーター 制御というふうに呼びます こういうことを実現したいわけですね
(22:49) そのために状態フィール惑星気を使い ましょうということで 状態フィードバック制御は いう= beauty コール a くすてぃーねはいこんな風に でこの系これがですね状態フィードバック ゲインと呼ぶんですね 状態フィードバック day ゲイン系が 俺今の状態この x がですねえの次元な んですよ n 次元ね x はこういう ふうに x1x2てで大邱前と n 子要素が並ん でいるわけですねなので8ゲイン系は今 n 子えっとまぁ要素があります a 1へ ツっててんてん am ということでこれ がですね
(23:51) 1かける n の行列になっていると横 ペクとになってるって事に注意して ください マーチ12 e 61しを考えてますので 811かけ上になっているということです ねまぁた入力の場合はあの m 行 n 列 いう形になりますけれども今この講義では 126にしてますねまぁこのように横 ベクトルになっているということですね これをですねうまくこの原因系を設計して このレギュレーターで綺麗 出せよー実現したいというわけですね まああのこれ簡単なんで雪を説明去って 行きますけれども no この状態 フィードバック制御則ですねこれ状態 フィードバック制御則ですね状態 フィードバック制御則をほどこうした時の システム全体のフル目はどういうふうに 欠けるのかと どういう音リブ方程式に従うのかという ことなんですけども これはですねこの a 9スパース bu 5状態方程式のいうのところにこの ノータイフィードバックですね状態
(24:55) フィード学生がそこを代入しますそそえ これ x ブラ数 btx なりますよね で xf まとめますと a + b 型 になっていると ということで はいこういう風になってるとこれがあの閉 ループ型フィードバック系の振る舞いを 表す微分方程式ということになりねっ でまぁこれ a + b 型がありまして ここがですねこれ安定であればですねこれ く0に収束するわけですよねそういうこと で a こちら書いてますが えっと a + いけ x を漸近的にゼロに収束させるためには a + b 型が安定であればいいと a +匹が安定っていうのはどういうことかと いうと固有値の実がすべて付であるという ことでしたね こういうふうにゲイン系を設定しましょう ということになります
(26:03) 宜しいでしょうかねっ あの実はこの決め方をですねえっとまぁ +あって一つはヒョク配置でもう一つは 最適データでもあるんですけども どこの後は曲か市の話をしていきたいと おもいます a + b 型が安定であればいい固有値 の実務が付であるように計を決めればいい ということなのでこちらでですね曲を選ん であげます を誘致を指定します それに合うように原因計4メールとこれが 曲配置という設計ですね まあて計算ですねにあの行った事あります ので8思い出してくださいよく廃止と設計 をしましょうと言っ 曲配置はですねえぇパース b 系の固有 値 ラムダ1ランダースラームだいぶがあり ますけどもこれをですね a した値 p 1 p 2 p n 2 aましょうと そうなるように計を決めましょうという ものになります でまぁの ab がですねええかせえよね
(27:08) システムが化制御であれば a パース b 型の公有地を兄に指定かということでこの p 1から p へのですねこれを頭に 自由に決めることができます ただまぁ自由に決められるといってもです ね現実世界で使えないといけませんので実 はの何でもいいっていうわけじゃなくて ですねとりあえず二粒が不利になるように 設計しないといけないんですけども その他舞子条件があってえっと今日訳です ね共役複素数 もちろんの実数だけでもいいんですけど 文字数曲だけでもいいんですけども嘘数も 選ぶことができますふくさぞ選ば場合には ですねおなら共役複素数のペアで入れ ましょうというそういう決まりがあります は入れない場合なんか問題ですかっていう のはあのもうすでに話をしましたけども8 またあの思い出したのはされた方は ちょっと自分でえっと協約でない複素数を 指定してちょっと計算してみてください あとですねちょっと粋でいいんですけども この a + b 系の固有値のこと ちょっと別の名前がありましてこれ
(28:10) グレーター逆という名前がありますので 一応合わせて覚えておいてくださいで油冷 た曲 レギュレータ曲と呼んだりもします まあ今レギュレーター制御やりたいので まあそのレギュレーターっていうのを設計 しましょうという話になっているんです けども そのレギュレーターの曲ということで レギュレーター曲とれします 次はこの次の動画でですね8 その曲配置の具体的な方法ですねいくつか 紹介していきますけれどもその前ですね どこに曲を選んだらいいんでしょうかと いうそのまあそういった疑問ですね ちょっとお答えしておきたいと思いますが お答えというかですねえっとまぁこんな風 なあの感じですよというのをちょっとお 伝えておきたいと思いますけれどもまず ですね 8時2分ですね二粒の大きさが8四球速の 速さに影響しますね a これはえーっといいのラムダ it 場 ですねこれとラムダ愛が吹くとするの場合 はですねいいのあるファー tv 所ば
(29:14) いいの 8 j ベーター t 丈夫な形でですね かけるわけですねで収束の速さまああのお 振る舞いが好あっあと を愛花 こういうふうにご収束していくわけです けれども この包絡線ですね崩落て考えるとキノコの 収束の速さこれはですねこのアルファこの 二粒の大きさで決まるということなんです よね ですので絵をまず大事な所収束の速さと いうことでこのキュッ5軸にですねあまり 近づかない方がいいです ねん 流速の 予測の a 1
(30:21) 収束の速さということで8巨樹9人近いと ですね振る舞い遅くなっちゃいますので オート遅くなりますチーズあの i 遅く なりますので8収束早めたいって場合には ですねえと巨人から話すように8曲を設定 しましょう それからですねえとまぁ複素数を入れると ちょっと高騰を早めたいということが好 できるわけ子猫振動的になりますので ちょっとの足数だけあのねぇと実だけで こうゆっくり子おろすんじゃなくてですね ちょっとオート早めたいというときには こう複素数をとスパイスとしているわけ ですけれども ところに入れすぎると後振動方大きくなっ ちゃいますので あのこんなことはあまりよくないですよね それ目安がありまして どこ45度の1005 p といっぱい あるんですけども ん すいませ すぐいけないもう2-んですけどもこう いうふうにですね a子45度45です 45度45度なんですけどもこの45度の この中ですねはいここに
(31:26) 愛知するといいですね振動が はほどほどに大きくなるというか 大きくなりすぎないというまあ領域なり ますので 以前畑ます標準型なんか8 a ちょっと ご紹介しましたけれどもそのバターワース 標準型はですね8虹の場合はこの45度の 線の上に行こう曲が乗っているという状況 ですねはい それよりですね振動小さくしたいという ときにはこのようにですねこの45のこの 領域の中に来曲を配置するということに なります あと西御坊1個ですねあの大事なポイント がありましてえっと最後はですね入力の 大きさなんですねはい 青砥早くすればそれほどまあ いいかなというふうに思うんですけども 紫陽花ずですねあの機械システムなんか 制御する時には モーターへの隣家低圧みたいなことまあ 入力として考えるときなのですねその時に 定格の電圧っていうのは必ず存在します それを超えるような入力を加えてしまうと
(32:29) まぁ色立と風合いはワインダーという間 芸者とか起きるんですけれどもそういった 意図そのあまり良くない状況がおきますの で入力の大きたという観点からあまりこの 曲をですね左側に配置し次しすぎないと いうまあのも大事になってきます 行く洞窟ですねまあはい原因といいです けどハイゲインにして煌8 制御精度を上げていこうっていうのがあり よくやるんですけれども上げすぎるところ 入力にしかかり入力の英訳日かかりますの でまぁこれ注意しましょうということに なります いうことでえっとまぁ曲配置にの設計の まあ 前段階としてですねこの曲どの辺に置い たらいいのかって話を最後しました この動画ではここまでにしておきたいと 思います次の動画では 曲配置の具体的な方法を説明していき おつかれさまでした
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各回動画が2〜3本あります.
# Part1は,概要説明&復習用の動画です
# Part2が本編で板書スタイルとなります
# Part1→Part2→Part1の順に視聴し,ノート作成&練習問題をすると90分程度になります
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⭐️関連動画
Pythonで学ぶ制御工学
Part1(編集済み):https://youtu.be/36MzFQgqJcE
Part2(編集済み):https://youtu.be/tt0pWt-kKKU
Part3(編集済み):https://youtu.be/aCYJvYGZz3g
制御工学クイック学習:https://youtu.be/SSJNCZSzq4M
制御系設計(伝達関数編):https://youtu.be/b4X3wmXnHwM
制御系設計(状態方程式編):https://youtu.be/NhU5G3TTA8k