最終値の定理とその導出方法，そして，制御工学における最終値の定理の使い方を紹介します。
(16) 最終値の定理でステップ応答の定常値を求める –
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(00:01) はいみなさんこんにちは 南です今日は最終値の定義についてお話を したいと思います今システムPの出力Yの 定常値を求めたいという状況を考えます ある入力入れた時にですね出力Yがこの ように 振る舞ったとしますこの時のこの 十分時間経過した時のですね 対応を求めたいということですこれをどう やって求めるかというと オーソドックスなやり方としては 優雅がわかっていてPがわかっているので 頑張って時間応答YTを計算して定常値を 求めるというやり方ですね こうやってもいいんですけども今日はです ねもう少し簡単な方法をご紹介したいと 思いますそれが最終 値の定理を使うという方法です最小 値の定理はこのような関係のものになって おります Yの定常値がですねこの値と等しいですよ というものです このYSはこのYTをラプラス変換した ものですので このYTがわからなくてもですね
(01:07) YSにSをかけたものがわかっていれば それにSに0を代入すれば定常値は求まる ということになります今の場合このYSは システムのPと入力Eを使って Y=psusとかけますのでこのYの形状 値がですね S×PS×USの値の Sに0を代入したものという風になります ね こういうふうにこの 景色によって定量値は求まるということに なります 例えば ステップオートを考えてみたいと思うん ですけども 入力がステップ関数の場合はですね ステップUSがSになりますのでこのUS にS分野という代入しますとこの前のSと 4のSV キャンセルしますのでこのYTの形状値 すなわちステップオートの形状値は P0ということになるわけですね 具体的にこのPSがS+A分のbという 伝達関数で与えられる場合はですねこの
(02:13) ステップオートの 形状値は P0 S78A分のbであるということが 求まるわけですね 実際このPSの伝達関数のですねステップ ポートを計算してみますと時間応答の式が このように書くことはできますので 英文のB×1-Eの-AT以上ですねで この指数の部分ですけども Aは今生徒というふうにおりますのでそう しますとここが 0に収束しますので 定常値がですね英文のBであるということ がわかるわけですね はい従ってステップボートのこの形状値が この最終値の手を使うことによって 比較的簡単にですね求まることが求める ことができるということになっております ここで一つ注意したいことはですねこの 最終値が使える 条件っていうのがありましてそれがですね このYTがの ITの極限値が存在するという状況です今 あのある値に収束した時の定常値を求め ましたけどもこれ発散する場合ですとか 振動が残り続ける場合にはですねこの最終
(03:18) 値の手入れを使って定量値を求めることは できません 具体的にはこのsysが安定というのが 条件になってくるわけですね エステポートの場合はこのsysはこの SpsusでこのUが S分の1ですので 消えて ESだけ残りますよねでそれでこのPSが 安定であるときに 限りこの最終値が定理を使ってこの 定常値を求めることができるということ です今 例えばこれこの伝達関節で言うと Aが今正ですのでこれよくはですね マイナスでねですので 安定ということになっていますので 安定な場合にはですねこのように定常値を 求めることができるという このように最終値の手入れを使うと比較的 簡単にこのYTの定常値を求めることが できます 新しいこの システムが安定という条件ですねステップ を取りますというシステムが安定という 条件が必要であるというわけですね はい 残りの部分ではですねこの最終値の定理の 導出方法ですねをご紹介したいと思います
(04:25) 最終値の定理少し文字を書き直しました けどもこのようなものになっております FTですねでこのFTをラプラス変換した ものが今ラージFFSです これを導きたいと思います 今GSという関数をですねこのように定義 したいと思いますこれは FTという関数のラプラス変化になってる わけですけどもこれを定義しますでこの 右辺のラプラス変換の 部分ですけどもこちらはですねこのような 関係が得られます これを押さえるとですねまずこの 両辺ですねリミットを取りますとこのよう な関係が式になりますねこれが一番の式 です 両辺 意味 6弦を取りました であの 右辺のこのF0はSの関数でありませんの で 意味極限を外しているわけですねはいこの ようになります一方ですねこのSFSが アンテナときはですねこのGS
(05:30) GSはS=0で収束するということが わかりますので この G0ですねG0の値を求めてみますと G0ですねこのSに0を代入したものです けども 求めてみますと 0ですねここの 指数の部分が1になりますのでこういう 積分であるということがわかります でこれは中がこれFドットになってまして Fドットの積分ですのでこれ計算しますと Fの無限大と -F0という形になります でこの1番と2番の式ですけどもこれが 等しいということですので 結局ですねこのような関係式が得られると で F0のところをこう しますとこのこれ=これというわけですね でこの F無限大はこういうふうに書くことができ ますので 連続の場合ですね書くことはできますので この式からこの最終値の定理が導かれたと いうことになります 今日は以上になります
(06:33) 皆さんありがとうございました
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