「制御系設計論」の講義動画です
この動画では，最適レギュレータのロバスト性とリカッチ方程式の解法について説明しています．
0:00 準備
0:50 最適レギュレータの周波数特性
11:25 リカッチ方程式の解放
19:30 練習問題
26:00 練習問題の別解
【書き起こし】制御系設計論2021_08_捌Part2-2：最適レギュレータのロバスト性とリカッチ方程式の解法
(00:01) はいみなさんこんにちは南ですこの動画で は最適でキュレーターについてお話をし たいと思いますこの動画でお伝えしたい ことは2つありまして一つは相手木 レギュレーターの周波数特性ですもう一つ は入って切るべきデータを設計するときに リカチ方程式を解くんですけれどもその リカー地方程式のか違法音をご紹介したい と思います 講義ノートは4ページありますまず1 ページ目です あと式が多いですね 2ページ目になります 3ページ目 最後ですねこれはの問題なんですけども この問題ときますねえっと別解ということ でて4ページ目ですね 宜しいでしょうかそれではえっと抗議のを 始めていきたいとおもいます あの前回最適レギュレーターをご紹介し ましたバーン訂正ですね最適性マン計算を してですね確認をしました 今回はですねまず
(01:04) 周波数特性 快適できるから4場所特性をまあ調べて おきたいと思いますまあ結論から行くと実 は位相余裕を60度以上にすることができ まして回ループ型乗りそういう60度以上 にすることができてろバースそうな コントローラーになってますよということ なんですねまぁそのことをちょっとお伝え したいと思います ボタンと中止キーあのたくさん出てきて あの場所の部分はありますがあのと結論 だけあの最後に関して頂ければと思います マザーの8市入力のシステムを考えてます 1入力だと思って話を聞いてください えっと今エディックスてこれ x パス b に対してという= kxk オプトは今 r いんばマイナス r インバース bthp だったんですけどもそれを設計したという わけですねはいえーっとここがですね入力 いうなんですけども入力いうなんですが えっとちょっとここにマイナスをつけたい のでえっと桜ですねマイナスの計おくとに しますね
(02:09) ネット契約とはもともとは マイナスの r インバース いい天地 p のではいこれを考えていた わけですねちょっとあの 9えっとマイナスとこのマイナスで キャンセルしてもというコール経営を置く とに戻ると思いますが英語率と考えたいと 思います えっと 岩する特性で回ループ系の特性を見たいの でエッジところかえるぷ伝達関数で 書き直したいと思いますけれども とどうなるかといいますと えっとですね をとってエコせないの3ましょ a 棟 この京王 putumayo エスケープ 塔ですね上のほうに持っていくんですけど も xt 高齢 x 厚 wiiu ての 伝達関数の形で書いておくとどうなるかと いうと をがですね s early -0-インバースの b ですねはいこういうふうになりますね a ここにマイナス経大附とがかかると
(03:12) いうことでここに by スケープとと いうことになってます マイナスで ここが入力いうこれが入力ですけどもまぁ こういうふうにですねかけますということ でえっとここの部分ですね これが 回ループ伝達かなん ジジュン伝達関数ですね ライブ豊前田使うするということでこの今 赤で囲んだ部分の周波数特性を見ていき たいというわけですね ちょっともうあの説明を頭になってしまい ますけれどもまずですねえっとちょっと式 変形を進めていきますがへ取り徒歩方程式 が今あの方やってありますよね理科調停し てありましたよね でここの中にですねえっと- sp と
(04:18) sp を足し合わせましょう でしょうか 明日れてるだろうね足この中に入れました 入れました あとこの部分ですけどもこの部分は計 アップと店 jr 京王太くらになると これあの最適性のところ安定せんところか な ada とを吐く使った式のは部分だ と思って頂ければと思いますがこれは出て いくということですね このこの p で高をくくりましてご ちょんぴーでクリますとまあこういうふう に8なりますよね この上の子の4校はこのエスターのこの方 になると えっとここはこうなってえっとここがそう かマイナスが おぉっ えっとちょっと8そうですねえこれ富豪が a 棟ちょっと変になっているのはですね と入れ替えて幸いで変えたりしていますの でまぁこういう風になっております えっとこのこちらのこのこの部分をです ねっとブウ編の方に移行させているから
(05:23) はいこの部分をこちらに来移行させて a 8左右入れ替えてですねこれ計算している ということですねえから-8鎌安 a 天地 なってのはそういうことですね でこのように計算します ここでですねえっとこれですことを女性の これなんですけどもここ えーとこれがですね回ループでだ使う水 知人でデータ使うさんで1巡で立つか嘘 hs というふうに書くことにしましょう これですね そうするとえっと実は a 地点地は hs とか んですけれども を って高校本日はですねえっとこれこの式が こういうふうに変形をすることができまし て水らんいらないものはこっちに来るん ですけれども 8ちょっとこの式がですねとこの hs を 使うとこういう風な式になるとこれ カルマン方程式って言うんですけども公式 に編呈することができますまあ結果だけ見 てくだ妻 こんなふうになるとですねどういうことが わかるかというと どこのねえと右辺のこの部分ガールは a
(06:28) セール性別しこの普遍のこの部分これ二次 形式なってますとか二じゃないことも わかるわけですね いうことはどういうことかというとを5が えっと婦じゃないっていうことですねはい えーと hjr hjr ですね えっと hdr8あ hdi じゃあ hjo 目が hg オメガをですね r パス j おめ j シグマ r オメガパス j シグマオメガという 風にしてここキック計算するとですね 8 ou ですね奉呈してるできますアフ 投資家ハイエット 1+ r オメガの事情と江戸シグマ目の 事情が約1より大きいですよ1以上です よっていうですねえっとこのをこの部分 から8こっちや送るんですけども栄光れて 求めることができるということですねああ ああああ ちょっとあのかなりはしょってるんでって いうもうあの結果だけ見て頂ければと思い ますがえっとですねこういう風な式になり ますでこの式は何を表しているかだけは
(07:33) しっかりあの理解してほしいんですけども a子意識出てくるとでこの式は何を言って いるのかというと複素平面だと思って くださいご複素平面ね嘘平面でえっとこれ r がこれ実ですよ実数年でこっちゃんち シグバラこれ恐々無難ですねこれ時2分と 胸部なわけですよね ええっとこれはこれ円の方程式ですよね蓮 の方程式安渓が-1ねえ1と08 円の方程してえっとソ連の方程式この不等 式になってますねこれは円の外側ですよと は演習も含みますけど演習のそっと上 乗っかって外側ですよってことを表して いるということですねぇなんでにイメージ でこんな感じですねはい 8-1-10があってえっと講演があって その外側のこともこの8ここ表していると いうわけですね えっともともとこの hjo メガって いうやつがえーっと俺あの回ループ伝達
(08:38) カースなんですけども 回力伝達関数の幸ですねあのこれまあない ベクトル軌跡っていうのはこんなふうに声 をかけると どこから航空がわかりませんけども こんな風にベクトル軌跡が書けるわけです ねこれが 英知のオメガなんですけどもこれベクトル 軌跡ですね でこのベクトル軌跡がこのこれ満たすと いうことなのでこそ必ずこの円の外側に ありますよと いうことなんですねだからこう絶対この中 に入れないとお腹に入ることでありえない ありえないということがこの式からわかる というわけですね なのでえーどう ウェイクとまとめておけと英知の jo 目 が h の ja メーカーのベクトル 軌跡 役は -1 アジェ0 えっとターゲに入れると
(09:51) ということがまあこのまぁちょっと式変形 して切ってくると分かるとコレですねこれ 真っ向この意味だけほぼ理解してください この地形血族とこれができますとこの意味 はこういうことですよと これ入らないので ということは分かるかというと一層余裕 ですね伊藤余裕が60度以上ということが もうちょっとこれも考えてください 位相を余裕が 60度以上 になります あのちょっと上に角度も悪いのですあっ ou えんですよねはい これがあの 半径1の 大変ですね00基準としてさらにですね 中心とする単位になっているけれども この部分もここの部分ですよねこの部分が その8原因交差周波数になっているので えっとそれが8 まあいいぞそこその頃の角度変革ねう使っ ていそういうが計算できるわけですけれど
(10:57) も えっとベクトル軌跡は大変中で入りません ので えっと必ずこの子のラインですねこれがず 60度より大きくなるということがわかっ てわかるということですねはい ということでえっとこれでえっとはを周波 数を食えとしてまー60度以上凝りそう いうがあるということがわかってですね泥 バーストナーコントローラーになって るって事かは確認できる 俺がまだ市バス属性の話です 二つ目のトピックはですねこりカー地方 停止の解放ですねえとあまり価値方程式を 解くんですけどもまぁあの後でちょっと 計算をして皆すみますが実はにかけるにと かですねまぁ頑張った三角さんもいけるん ですけども にかける兄までぐらいだったらは敵へされ 何とか取りカー超低所得ことができますお おおおおおおおおおおおおおおおおおおお おおおおおおま4かけいおんとかで増加 傾向というかもっと講師になってくると これけっこうまあ美味しいと思いますね その時にですねやはりば数値計算なんかし てと求めたいいわけですけどもその時の 開放が8 e まから紹介するものになり
(12:00) ます これあの有本ポッター法廷の回りすぎて いるんですけどもあり元克先生とポッター 先生の8まああの結果を 今から紹介していきたいとおもい ねか調停式は8こちらですねえっ pa + a 天地 p まゆ spdr います p 天地 p +9=0ということでしたね はいこれを解きたいとこれをとまぁこれの 会 p を止めたいはけどもどうやって 求めるかという 8ハミルトン行列というものをまず塗り ますアミュートン行です まあの解析力学の端見ると私と言ってます けど 8実は最後ストア別の所につながっている んですけども一応ここでもハミルトン行列 というのものを考えるというところが スタートしたいと思いますどういう行列か といいますと でマイナス b ルインバー いいて5 でへと-9 ヴァイナス ap
(13:05) a こういうものをはめると行列と言い ますこれを考えましょう ハミルトン行列のまあ性質なんですけど もうちょっとこれもまあの主照明とかは 端折りますがえっと実はとこのハミルトン 行列これ間に確認 n かける2/ n の 行列になっていますので固有値は2/ n 個あると in n 個あります 兄 m子ありますので二粒は異例です 0ではあります 岡瀬良ばよっ 8 n 子は安定 いいえのかの家の n 子は安定 n 子は不安定というものに ちょうどあのえっと対象になってるんです けども8倍へと うがしない8 誘致の8時粒がバイアスアルファーだと するともう1個はアルファになります8 対象になるんですけども8 n コア安定
(14:09) n 子は不安定ということになってます それからですねえっと実はこの h の 安定公有地ですね英知と安定固有値って いうのは実は a パース bk オプト の固有値に等しいということも パートで確認はしまうんですないと思い ますけども こういう性質が実はあるわけですね これを使ってとどうやってですねえっと その 勝方程式を求めるのかということなんです けどもあり課長停止の解を求めるのかと いうことなんですが まずですね固有ベクトル この8ハミルトン行列の固有ベクトルを 計算しましょう こういうべくとの計算しますそれをですね 今8 8 vi と書きますけれども vi を こういうふうにかっ 彼はこの人への地下んですよね ng これはまず計算です
(15:13) 大するとですね実は 8このハミルトン行列の場合のこの8 vi まあ上半分と下半分に vi1 v 兄というふうに分けましたけれどもこれは ケルト 実はですね交友関係が成り立つんですね vie 8に=いいの 8 v はい1だ a交友関係ないています ちゃんと2名線しないで8やっているので あのや速されている方は妹がいるかもしれ ませんがいいとこれ成り立つとなり+と するとですねなり+のでところずちょっと あのべくとの形で求めていきましょう にっ 8 v- m 2 でこれが p バイ おっ
(16:15) 8 v1 1 えっ avm 追加 こういうふうにですねえとベクトル まとめていきますねこれで 不意に 不意に オールブイブイリーチということになるん ですけども えーとこれ具がのでぇ p =ですねえと 部位に リバースということでこれであの海を元 a こういうふうに計算をしていくものになり ますなので8固有ベクトルをまず求めてと そこからですねと v 1ぶり2っていう 行列を作るとボイン1ボーイズと行列が できたらあとはビーツ v バー インバースという計算をすれば8 p を も止まるというこういうですね手順なん ですね ちょっと補足で下に書いてますけれども8 このラムダコラムだがですねえっと
(17:18) ハミルトン行列の栄光いう子だと思って くださいそうするとこの8 8ラムダとラムダですねこのあのこれこう いう家だとするとの固有ですねえと式や 出てくると思いますけれども今ちょっと式 変形をこうやっていくとですね結局こう いう式が交際を出てくるんですね 一旦自分でやってもらったら良いと思いが 好プレーをやっていくと絵を意識変形出て きます これからわかることはこの一番下のところ ですねこれがですね一番したところはこれ あの越冬 これ=0っていうのはこれ理課長停止です よねなので8ああいう風に決めてあげる ところ人課長で四球そういったことになっ ているということは分かるしそれから実は ここですねえこれもわかるんですねこれ ええ- br インバース b 10時 p になってますけどもこれ俺の固有値が ラムダですよってことがわかるわかるので ところでと英知のあってこういう家は a + b ek オプトの公有地にソシーというのが ここからもうわかるということです というのが8頃に飼っ地方停止の解放有本 ポッターをですねございます
(18:23) ちょっとあのお気づきの方はいるんだと 思うんですけれども こんな p 求めなくてもいいんじゃねー かということになってくるわけですね8 そういうのは何かというとここなんですよ はい 8 a + b 型多くとの固有値等しい ということを言っているので a 市公有地求めたいですよね お湯ベクトルを求めていちいち計算するん じゃなくてこういう家求めたらいいじゃ ないですかと 誘致を求めて 曲配置方で 経営を設計すればいいと をすれば最適データも止まりますよねと いうそういうことですね 設計すれば ko 9となると なのでマーティ求めた方 p 求めたりし 8まあ直精鋭市公有地安定光一を求めてで 床から曲配置で計を設計すれば最適で切れ た方の成形できますということになります いうのが a 撮り花蝶停止の買い方 残りはですね8その練習問題とってやって
(19:28) みたいと思います 練習問題ですね x.にこれ x + dua 営業 sb os は01-10 -1いいは01こういうふうに与えられて いるとしましょう でこれに対してえっと急ですね a 級は えっと 300006中というものを考えましょう エアーるは1とこれを最適れた設計し なさいという問題ですね リカチ方程式はず計算しましょうね過剰 停止キリカ兆候から大変なんですけども ニーカーっ を停止 以下調停式ですね 8 p 相性 8 sp は対象行事するのでいい11 ピーチに 21に いいにというふうに書きましょう もちろん
(20:31) 1223という形でも良いと思いますが とりあえず対象業種などで と聞いた各成分は同じ値同じ文字で置いて おきます ここが a 4ずですね 01-10-1 フランス a 天地ですから0-10- 1の場合やすいですか で8コア pgp 家に 心理のピンにということに マイナスの pbr インバースですよ ねー 家に edr いますeb r インバース r は1ですねでエビー 天地 以前ち p a +-9 脈0060の=0ということになります でこれを解くんです時バス停からバラし
(21:38) ますすべて要素ごとに恋バラしていきます も全部計算して要素ごとに8式を導出して いくとちょっともう途中書きませんけども 3つですね方程式が出てきます p 11の辞書 r 112かー -20 次に 2つなんだ でマイナス p 1に 2 +あ 1 マイナスのピーチに の皆さんワードぜひこれを自分で変換して で要素ごと予想というか811要素12位 要素22要素の3つですねと指揮を出して みてください そうするとこういうふうにもと森 こういうふうにも止まりますね
(22:50) a ここからですね実はこれえっと p の 効果候補は4つ出てくるんですけども8 p 2 p がですねえ by 大スパン中 -30万中の通路奥んですよえっとこれと かな出てきませんけどもこれトーキーます よね apg 1 p に12カ所に時の 方程式することけますよね置きます 予算2支えられてきます 2つ候補出てくるんですけどもそれを使っ てえっと最後このこの塀の虹方で取得の からそうすると e 22に対しても2つ 出てきますね 8から4パターン出てくるわけですね4 パターンでこれ pg 12を計算すると いうことで p の候補は4つ出てきます でとそこをちょっと最後選定しないといけ ません はい ねぇまぁの出てきます さあこういう形になると思いますが4つ出
(24:03) てきます あとはですね制定大紹介聖帝なものを 見つければいいということなので制定な ものを見つけるんですけども生程度は ちょっと上に書いてますけれどもあの ゼロでないベクトルを持ってきて 兄のビッグベクトルを持ってきて冷凍まあ あの二次形式が生になればいいわけねえっ と例えばこの p 1なんかはですこの二 次形式持ってくるかマイナスになっちゃい ますよねこの罰ですねはい 例えばへの x ワンゼロとエフェクトに 持ってくるとですね-30がありますので これ0になっちゃうと雨や風になったと いうことでこれダメですよねで同じよう ですね今 p 2とか po やっぱダメ なんですね なのでえっとまぁ p 3がこれがあの 制定の対象かになってますねえとこれを 使ってえっと最後を開いて切るユタをの 原因を求めるということになります 回ということでへ時計よくとは ヴァイナス r インバースいい天地 p ですね えーこれはですね結局こうなります マイナスの 18とっていうことになりますと いう感じどうかバーの9918が出てくる
(25:12) のとマールあの毎朝来ますのでこれで なが求まる ことですちょっと皆さんあの自分でやって みてください はいということこれ別解を最後ご紹介し たいと思いますあとですねこの家の居間4 つ5回出てきましたけれども実は8この系 オプトはのシステムを安定化するもので ないといけませんので安定化する条件って いうのを見つけてからを絞っていくって やり方でも ok だと思います と安定かつさせるためにはな p 父とか p 212とか p にがどういう8 条件満たすカード安定性の条件ですねあり ますよねに助かってのを見つけてからです ねあのシボ絞り込んでフっていうのもあり だと思いますまあどっちでもいい んねあと別解ですけどハミルトン行列と いうものを使ってやっていきたいとおもい ますハイあのはにも点った方ですねで ハミルトン行列もはノック時開いてます けれども a コインをかけようになり ますか これの行列式計算の結構大変なんです けれども8まあこの場合わりと簡単にでき ていつはこの風にですねえと-5
(26:18) 5-44というですね4つの固有値が出て くることがわかります でしょうか ちょっと計算するとコーデできますなので 8安定こういう家に対する固有ベクトルを 求めますけれども うんとマイナス5と思いますよですねこれ に対応する固有ベクトルを求めると 8まあ v1がこれですで部位にはこれと いうことでえっとこのようにですね求める ことができます あとは a これをですネットを使って 計算をしていくわけですけども メイトオーガーですええええ を -120か120アルファの-3じゃあ えっと子株いいになりますのでへと12の ところを いくのかなで22のところ書けばだという ことで8枚は130名の 22データぷ こっちがえーっと であるファーの
(27:28) あの てベータの-4ベーター こういうふうにですねえとこれが版部位数 でこれはぶりーはーなんですけども a こういうふうに計算しますねボイバンド インバースなんでこの場合はにベータ分の 1の -4ベーター -5アルファ こういうふうに計算が出来であとはあの か計算た明け何すればいいねした170 18取るのでできて a これで理科調停 の になりますねはい酒居 はいということでこういうふうに8ハ ミート行列を使って人課長ですよ特区こと もできますいっ はい影響このこれで終わりたいと思います 皆さんお疲れ様です
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各回動画が２〜３本あります．
# Part1は，概要説明＆復習用の動画です
# Part2が本編で板書スタイルとなります
# Part1→Part2→Part1の順に視聴し，ノート作成＆練習問題をすると９０分程度になります
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⭐️関連動画
Pythonで学ぶ制御工学
Part1（編集済み）：https://youtu.be/36MzFQgqJcE
Part2（編集済み）：https://youtu.be/tt0pWt-kKKU
Part3（編集済み）：https://youtu.be/aCYJvYGZz3g
制御工学クイック学習：https://youtu.be/SSJNCZSzq4M
制御系設計（伝達関数編）：https://youtu.be/b4X3wmXnHwM
制御系設計（状態方程式編）：https://youtu.be/NhU5G3TTA8k
