ひずみって言葉は良く聞きますよね。
特に、『工学ひずみ』の概念は理解しやすく、わかりやすいです。
この動画では、材料力学で『ひずみ』を軽く学んだ方達に向け、
その『ひずみ』という概念を 今までよりもう少し深堀してみよう
という趣旨の動画です。
【内容】
まずは実際にひずみを求める問題を提示します。
その問題の意味を考えることで、ひずみという概念に親しんでいきます。
次に、『工学ひずみ』と『ひずみテンソル』の違いについて話します。
ひずみテンソルは『テンソル』というだけあって、座標変換に強いのだ
ということを、つらつらとしゃべる という内容になっております。
【書き起こし】材料力学 ひずみとは何か？ －『工学ひずみ』と『ひずみテンソル』との違いは？－
(00:00) 歪みって聞くとあーそんなん知ってる知ってる こういう材料がこうやって金だけ伸びたら 垂直歪みっていうのはこうでそれでせん断ひずみっていうのもあってそれはこういう 材料がこう変形して こういう寸法になればこれがせん断ひずみ そんでこいつらは光学歪みて呼ばれているんだよね あとはなんだか歪みテンソルっていう概念もあってそれはこういう式で定義されていて こうやって高額歪みを使って計算できるんだよね 簡単簡単もうこの動画見るのやめようって思っていたら ここで一つ質問なのですが ある材料にこうやって座標系を取ったとして力が加わることで この点が少しだけ変してこの店へ移動したとしましょう 会では この点の歪みテンソルを知りたいのですが求め方はご存知ですか というかそもそもなんで歪みテンソル
(01:09) などという概念が存在しているのでしょうか [音楽] 光学歪みという非常に理解しやすい概念だけでは何か問題があるのでしょうか というわけで 今までよりももう少し深く歪みを知ろうというのがこの動画のテーマです プープープープー うん ん さあではこの天皇歪み店ソウルを知りたいのですがどうしましょう ちなみにのちほど歪みテンソルとは何かという話をするのでとりあえず今は 光学歪みがわかっていれば泉店するっていうのはこうやって自動的に求められるんだよ ね ぐらいに思ってくれていれば ok です さてということで高額歪みを知るためには 元の長さと そのの微量がわかれば求められるような気がしますよね
(02:15) そうするとですよこの問題においての微量っていうのは求められる気がするけど 元の長さってなんだろうっていうことに気付くわけです それもそのはずで ある材料において ここと 9この二点間の距離が河野ビルのと 今度はこの二点間の距離が 河野ビルのとではだいぶ話が違いますよね 歪みの値わー 右側の方が大きくなります 右側は2倍程度の長さに伸びたのに対し 左側はそこまで伸びてないですよね [音楽] こういうことで今回の問題ではわかりやす空 原点とのに転換が こう伸びたとしましょう さぁそれでは 泉テンソルを求めてください どうでしょうか今回は 元の長さも分かっておりますし泉テンソルを求めることができそうですよね
(03:22) でもちょっとこの式だけ与えられても いう感じでしょうか それでは この歪みテンソルの四季を使えばどうでしょう この式において ux という場合というのはいったい何なのかというと いのことです なので今回の場合ですと ux というのは1-0で 1 ui というのは11-10で市ということになります さあ今度はどうでしょう これで泉テンソルは求めることができるでしょうか 維持つは ダメなんです まあそれもそのはずで 2点間の変異が分かったところで この材料がこうなるという状況もあれば 同じこの材料がこうなるという状況もあるわけです 上と下ではー
(04:25) この点の歪みの値は異なるんですけどそれはイメージできるでしょうか 具体的に言えば上の赤丸の位置のせん断ひずみはご存知のようにゼロにはならないん ですけど 下の場合のせん断ひずみはゼロとなります なぜかというと 9微小部分を拡大してみるとこうやって 円筒形がまっすぐ上に立ち上がった形をしており せん断変形していないということがわかりますよね てよってせん断ひずみは0ってことになるわけです なんだか長々と喋ってまいりましたが何を言いたいのかというと 泉テンソルを求めるためには園医馬がどうなっているのかという情報が必要だという ことです 例えば この場合の変異ばはこういうふうになります y 方向には変していないので ui はゼロとなります x 方向の変位リアル ux
(05:32) に関しては y の値が大きくなるにつれてどんどん大きくなっておりますので その比例定数を8すれば ux = 平和位ということになります こういった変異ばが分かって初めて 泉テンソルが求まります ちなみにこの変異ばの場合ですと 泉店それは このように計算することができます ただただこの式をここに代入しただけです といった感じで歪みの話をしてきましたがどうでしょう 今までよりも歪みという概念に親しみを感じてきましたよね と言ったところで 次の質問です こういったとても理解のしやすい光学歪みの概念だけではどんな問題があるのでしょう か 泉テンソルという概念にはどんな利点があるのでしょうか んんんんん
(06:43) me [音楽] ん 4 ってことでもう少しこの歪みテンソルに親しんでいきましょう この動画では歪みテンソルの特徴を2つ紹介します 一つ目は 2点間の長さの変化量が簡単にわかるということで 二つ目は座標変換に強いということです ではさっそく1つ目の項目を言ってみましょう こうやってある材料がありまして この二点間の距離 ds が材料が変形することによってこのように ds になった とします それで元々の2点間を結ぶ このベクトルの成分を こういうふうにおけば 長さの事情の差というのは歪みテンソルを使ってこうやって計算することができます なんだか便利じゃないですか
(07:55) でなんでこの式が成立するのかというと実際にこの右辺を計算すると この再編になるぺだけの話なんですけどまぁそこらへんは弾性力学などの書籍に書いて あります ただただ真面目に計算を進めれば済む話です ben んんんん ben ん ん 歪みテンソルが座標変換に強いというのはどういうことなのか っていうことを話していくんですけどそもそも 編組るって座標変換に強かったですよね そういう話を聞いたことはありますか どういうことなのかというと 例えば慣性テンソルってありましたよね これが角速度でこれが角運動量なんですけどこれらのベクトルがー
(09:03) こうだったとします でこれを座標変換すると こういうふうになりますいいですよね ちょいと座標系を戻しまして [音楽] これがよしおくんの座標系としましょう で座標系を変更して これが良子さんの座標系としましょう よしおくんが見ても ヨシ子さんが見ても角速度や角運動量が変わってませんよね 当たり前すぎて何も疑問はないのかもしれませんが実はこれって凄いことなんです 例えば光学歪みを例にとってみましょう 光学歪みにこうやって適当なベクトルをかけたらこういうものが計算できたとし ましょう それでこの座標系を 変更すると このように黄色い矢印の向きや大きさが変わってしまうんですけど実はこれが普通なん です
(10:08) まあこういう複雑な計算をしているのでこの計算結果である これは当然座標系によって異なる矢印になることは当たり前ですよね こういった慣性テンソルのように 座標系が変わっても計算結果である 黄色い矢印の向きや大きさが変わらないことのほうが異常なんです んなのでこの以上の状態を引き起こしている この愛という行列は行列ではなく 編 剃るという特別な称号を与えられているわけです まぁここらへんのテンソルの話は下の概要欄のリンクをクリックしてみてください さてというわけでご想像の通り この歪みテンソルってやつはテンソル なので こういう計算を考えた時にこうやって座標系を変更しても黄色の矢印の向きや大きさは 変わらないという特別なものなんです
(11:17) 特別って言われても だからなんなのって感じですよね すでにこの動画内で触れましたが 泉テンソルを使うとに転換の長さの変化量がわかるという話をしましたよね なんでこういうことができるのかというと この部分の計算結果であるこの黄色い矢印が このように座標変換しても変わらないからです これが理由となりー この計算結果すなわち 長さの変化量はこのように座標変換しても値が変わらないということになるわけです 座標系によって長さの変化量が変わるなんてことはありえないですよね 歪みテンソルは座標変換に強いのでこういったことが可能になるんです 光学歪みを使った関数では何かを表現するということは不可能になってしまいます 泉店するという概念が必要な理由を感じることができたでしょうか
(12:28) [音楽]
