http:/www.ritsumei.ac.jp/~uemura-m/AnalyticalMechanics/AnalyticalMechanics10thWeek.pdf
【書き起こし】解析力学 第１０週 リンク機構の運動方程式
(00:00) それでは解析力学道第10集を始めます 立命館大や空ロボティクス学科能江村と申しますよろしくお願いします 今週はリンク機構の運動方程式を紹介します ラグランジュの運動方程式を用いればさまざまな機械システムの運動方程式を統一的な 手法で導出できます その機械システムの多くは複数のゴータイが連結された構造を持ちます そのような気候の代表例としてこの図のように交代である複数のリンクが回転関節に よって連結された気候があります 多くのロボットはこのような構造を採用しています ロボットの運動方程式を求められることは
(01:07) follow ティクス学科の研究室では基本的な能力なので ロボティクス学科の覚醒は必ず身につけましょう 機械学科の学生も様々な機械システムの運動方程式を求められることは基礎能力として 重要なので習得しましょう 今回はこの図のように2つの回転関節を持つ機構を取り扱います これらの関節の回転軸はこの図の平面に対して垂直とします よってこれらのリンクはつの平面上を移動します この機構の運動方程式を導出するため 運動エネルギーを求めましょう この機構は2つのゴータイから構成されているので 系の運動エネルギーはこれらのゴータイの並進方向の運動エネルギーと回転方向の運動
(02:18) エネルギーのはになります 図のように一つ目のリンクの重さを m 1 重心の速さを vcom 1 慣性モーメント i1 ピンクの水平面からの傾きを敷いた ceo m 1とすると一つ目のリンクの運動 エネルギーは1/2 m 1 vcom 市字上 +1/2はい1 c た co m 1どとの事情となります 同様に2つ目のリンクの重さ重心の速さ 慣性モーメント水平面からの傾きをそれぞれ m 兄 vcom ニーハイニー リーダー coom 兄とすると 二つ目のリンクの運動エネルギーは1/2 m 2v co m 2-次長 +1/2愛に敷いた coom にドットの事情となります
(03:28) この式のようにこれらの運動エネルギーの合計が 系全体の運動エネルギー型となります しかし関節角度である91野球にを一般化座標として採用するような典型的な場合 今求めた運動エネルギーは 一般化座標では表されていないためそのままでは運動方程式は求められません そこで重心位置や姿勢を関節角度 q 1 q 2で表すためこのような重心位置姿勢 ベクトル xcom 1 xcom 兄を定義します ベクトル xcom 市は市リンク目のヘックス方向 y 方向の重心位置を巣からの xcom 1 by c 用 m 1 your
(04:33) 1 link 目の市政シーター co m 1を要素に保ちます ベクトル xcom 兄も同様に xcom に ycom に チータ cum 兄を要素に保ちます これらのベクトルをロボットの関節角度 q 1 q 2で表すとこのようにかけます 例えばつカラーの xcom 市は目元の関節から重心までの距離が lg 1で 水平面と一つ目のリンクの間の角度が91なので lg cos 91となります その他の重心位置も同じように計算できます 重心位置の計算が分からない場合は 第6週のリンクの手先1を求める方法を参考にしてください
(05:42) 1 link 目の市政シーター co m 1は関節角度と同じなどで91そのもの になります リンク目の市政チータ con 兄は 関節角度 q 1と q 2を足したものなので 91+急にとなります 運動エネルギーをこれらのベクトルであるブスには 得度の次元に直す必要があります そこで先ほどのベクトルを時間で微分しましょう サイン q 1は時間で微分すると -9一度と391となり サイン q 1は91.かける cos 91となるため重心位置の微分はこのように 表せます を求めたベクトルの各要素はこのように 関節角速度9一度と急にドットとその他の変数や定数とのかけ算の形になっています
(06:56) したがって関節角速度をベクトルにしたものと行列とば席で表せます 実際に関節角速度ベクトルと行列と墓石の形で表すとこのようになります このように速度ベクトルを別の速度ベクトルと行列の積で表す計算方法がわからない 場合は 第六集を復習しましょう このような速度ベクトル同士の関係を表す行列は ヤコビ行列と呼ばれています ここでは jcom 市と表します 同様ににリンク目の重心位置と姿勢を表すベクトル xcom 兄も微分してみ ましょう 馬計算結果はこの式のようになります
(08:06) この計算には cos 91+急にお時間で微分すると -91.+急にドットかける cos 91+急にとなることを用いました その計算した速度ベクトルも このようにヤコビ行列と関節速とベクトルの積で表せます このヤコビ行列は jcom ニートします 次は今計算したヤコビ行列 jcom ちと jcom 兄を使って 運動エネルギーを関節各同級19にを使って表します 系の運動エネルギーは 2つのリンクの並進と回転の運動エネルギーのはであるためこのような式出かけました この重心の早さである vcom 市と vcom 兄は
(09:18) 3平方うん定理から x y 方向の重臣速度を使ってこのように穴子せます 次にスカラーの四季をこのように強烈十住心に関する速度ベクトルの式で腹をし直し ます 先ほどの式のように点数の事情に係数が掛け算された効能はでできた式はこのような 変数ベクトルが両側から掛けられた 対角行列の積で表せます このような式の変形は力学や制御で頻繁に使うのでぜひ習得しましょう このように強烈とベクトルの形式で表現できれば 式を簡潔に表現できるようになり 解析しやすくなります この式が先ほどのスカラーと一致することは各自で確かめておきましょう
(10:29) 例えば第一高の行列の1行目と右側の速度ベクトルの積を考えてみましょう 第一高の行列の1行目は m 1 00の横ベクトルなので右側の速度ベクトルとの席は m 1 xcom 1.となります この mh xcom 1.は左側の速度ベクトルの xcom 1.と掛け算され つからの式の第一高の1/2 m 1 xcom 一度との事情となります 他の幸も同様に計算できるので確かめてみましょう 第五項の真ん中の行列を らー gm &し 第2項の真ん中の行列をらージェニーとするとこのように
(11:36) ベクトルと行列の記号を用いた簡素な表現が可能です これらの2個を走はの記号を使って一つにまとめると さらに簡潔な表現が可能となります この表現はリンク機構の関節がいくつになってもそうはを取る数を関節に変更すれば 成立します ここで xcom i.を 91野球にを使った表現に変更するため先ほど求めた xcom i.= j comi 9度とを代入します するとこのような式を得ます ここでベクトル9.はそうはの記号愛には依存しないため そうあの計算の外に出せることに注意します
(12:47) また真ん中の行列 j comi 天地 mi j comi の遭遇を 一つの行列 m にまとめると このような非常に簡素な表現が可能になります このように系の運動エネルギーは関節速度ベクトルと行列 m を用いて2文の19. 展示 m 9.と表せます これは質点の運動エネルギーが1/2 mx ドップの事情で表せたのと似ており複雑 な機械システムでも行列とベクトルを用いれば運動エネルギーを簡素に表現できること がわかります このような行列 m は 関西行列と呼ばれています
(13:55) リンク機構の運動エネルギーは非常に乾燥な形で表せましたが具体的な感性行列は関節 が増えるにしたがって非常に複雑になります 今回取り扱っているにリンク機構であれば完成行列を計算することはそれほど難しく ありません そこで完成行列が具体的にどのような行列になるかを確認するため 具体的な中身を計算してみましょう まず関西行列はヤコビ行列と各リンクの感性を表す共立を使った このような席の総和なので1リンク目の行列の積を計算してみましょう エコ日行列 jcom 市や感性を表す行列へ道はこのようにかけました これを計算するため行列 m 1と左側のエコ日行列
(15:07) jcom 市天池との席をまず計算しましょう 例えば計算後の1行1列目の要素は天地した jcom 市の1行目かける 行列 m 1の1列目なのでマイナス m 1 lg サイン91となります 同じように行列の各項を計算すると このような式になります 他の要素の計算は各自で確認しましょう さらにこの行列同士の席を計算すると このようになります この1行1列目のサイン91の事情と cos 91の事情には同じ係数がかかっています したがって m 1 lg 市字上にサイン91の事情+ cos 91の事情が
(16:22) 掛け算されたものになります サイン91の事情+ v サイン91の事情は1となるので この行列を簡略化すると このようになります これが1リンク目の完成行列になります 同じようににリンク目の完成行列を求めましょう リンク目のヤコビ行列 jcom 兄は 1 link 目に比べて複雑なので完成行列もこのように非常に複雑になります k さんの家庭は省略しますが調査委な計算は各自で確認してください 1 link 目の完成行列はすべて定数から構成されていましたが 人久米完成行列は cos 急にという変数が含まれています
(17:36) したがって完成行列は変数に依存した強烈となります これは物理的には各関節から見たリンク機構の感性がピンク機構の姿勢によって変化 するためです 例えばリンク機構を真っ直ぐ伸ばした時 つまり q 2=0のとき二つ目のリンクが根元の関節から遠くなるため 根元の関節から見たリンク機構の完成は大きくなります 逆にリンクを折りたたんだような状態になるとき つまり急に=パイラジアルの時 二つ目のリンクが根元の関節に近づくため目元の関節から見たリンク機構の完成は 小さくなります 実際92コール0の時 cos 急にが1となるので
(18:41) 関西行列の各要素最大となり92コールパイの時 cos 急にがマイナス1となるので 関西行列の各要素は最少となります 全体の完成行列 m は求めた各リンクの完成行列を足したもので このようになります これが二つの関節おむつリンク機構の関西両列です 関西行列が求まればリンク機構の運動エネルギー系はこの式のように1/29.天地 m 9.でも止まります これを使えばラグランジュの運動方程式により運動方程式が求まります そこでここではリンク機構の運動方程式を求めます 簡単化のためまず重力が作用していない場合を考えましょう
(19:57) ピンク機構が水平面上で動く場合 重力の影響は無視できます とってこれから求める運動方程式は 水平面上を動くリンク機構の運動方程式となります 重力を無視しているので経営のポテンシャルエネルギーはゼロとなります 予定ラグランジアンは運動エネルギー型となるので ラグランジュの運動方程式の左辺はこのようになります まず運動エネルギーのベクトル9.による編文を考えます その計算結果はこのように m 9.となります この計算はつカラーの運動エネルギー 1/2 mx .も事情を x で偏微分した時に mx .となる計算にでいます
(21:10) 何故このように計算できるかについては大衆に解説します 次に今計算したへ分宮ドップの時間キーによる微分を計算します 関西行列 m も関節角速度ベクトル9度とも時間によって変化するので それぞれの時間微分を考える必要があります ベクトルや行列の積の微分はスカラーの場合と同じように 片方を微分したものにもう片方をかけたもの+ 逆がを微分したものにもう一方をかけたものになります よって m 9.の時間微分はこの式のように mq 2.+ m . que .と なります この得られた式がリンク聞く者ラグランジュの運動方程式の左辺です
(22:22) ただし多くの場合 m . que .-系お灸で偏微分したものの幸をまとめて ベクトル h と表します これによりもっと式を簡潔に表せます ラグランジュの運動方程式の右辺はいつも通り0ベクトルです m . que .-経営を急で偏微分したものの講話 これらの高全体で遠心力やコリオリ力によって発生するトルクを意味するため 各校ごとに物理的な意味を明確にするためにもこのような表現がよく使われます mq 2.の講話 感性によって生じるトルクを表しているので 関西校と呼ばれます 関西校は質点の運動方程式では mx 2.に相当します
(23:35) ピンク機構では 関西行列 m かける書くか速度ベクトル q 2.という 近い形式で表せます 遠心こりより高は ステンの運動方程式では現れない 新しく登場するこうです この講話にリンクメガ速ドームつと遠心力やコリオリ力が発生しそのことによって現れ ます これらの行列等ベクトルを使った用ゲームは リンクの数がいくつになっても一般的に成立します なので運動方程式を理解すれば リンクが関節で直列に連結される機構であればどのような気候でも運動方程式が求め られるようになります それではピンク機構のラグランジュの運動方程式をより詳細に理解するため練習問題を
(24:45) 解きましょう この問題では図のように重力が作用しない平面を運動する にリンク機構の運動方程式を具体的に求めましょう ただし系の運動エネルギーはこの式のように 先ほど計算した関西行列を用いるものとします この時先ほど求めた行列とベクトルで表現された運動方程式では 秒列 m男時間で微分したものや 運動エネルギー型お灸で hemi 分した高は具体的には計算されていないのでこれ らを計算することで運動方程式全体を求めましょう それでは時間を8分程度取るので解凍しましょう それでは回答を解説します
(33:51) まず先ほど求めた運動方程式は このようにかけます これらの校のうち関西校は完成行列が問題で与えられており q 2.のベクトルは 912.と急に2どどう要素に持つベクトルなのですでに詳細がも止まっています 詳細がも止まっていない部分は行列 m男時間で微分した m .と 運動エネルギー型をベクトル級で偏微分した者なのでこれらを具体的に計算しましょう まず関西行列 m男時間で微分すると 行列 m に含まれる変数である cos 急にが-9にドットかけるサイン急にとなるのでこの式のようになります 関西行列のその他の高はすべてペースなので
(34:58) 時間で微分すると0になります 次に運動エネルギー ko ベクトル級で偏微分したものを計算します その1個目の要素は経営を91で偏微分したものであり 関西行列は91を含まないので 0となります 二つ目の要素は完成行列が急にを含むのでゼロとはなりません これを計算するにはまず運動エネルギーを押すカラーで表し それを急にで微分するのが基本的な方法です ただし急にに依存していない校は急にで偏微分した時には0となるので運動エネルギー を計算するときに急にに依存した校だけを計算すれば無駄な計算が省けます cos 急にを急にで偏微分すると
(36:10) マイナスサイン92となるので運動エネルギーを急にで偏微分したものはこのような式 になります 以上でにリンク機構の運動方程式が詳細にも留まりました 今週は最後にこの図のように 栄進関節をも通気孔の運動方程式を求めます 英進館説とはこの図の右上のリンクがピンクと平行方向に移動できるような関節のこと です この移動により根元の回転関節から begin 久米重心位置までの距離急にが変化します 根元の関節はこれまで通り回転関節です 機械システムの稼動部分は回転関節や並進関節を採用していることがほとんどです よって回転関節に加え
(37:23) 変身関節の取り扱いがわかればほとんどの機械システムの運動方程式が求められます それでは運動方程式を求めるために必要な 各リンクの重心位置と姿勢を表すベクトル xcom 1 xcom 兄を求めましょう 1 link 目の重心位置と姿勢を表すヘックス co m 1は根元の関節が回転 関節なのでこれまでと同様です 2つ目のリンクの x 方向の重心位置は回転関節から重心までの距離が急にであり 二つ目のリンクの x 軸からの傾きが91なので 急に cos 91となります 同様に y 方向の重心位置は急にサイン91となります 二つ目のリンクの姿勢は x 方向から91だけ傾いているので
(38:37) 91となります 関西行列を求めるためには今週説明したように 関節速度ベクトルと xcom 一度と xcom 二度との関係を表すヤコビ行列を 求める必要があります そこで xcom 一度と xcom に撮っ度を計算します xcom 1.は回転関節の場合と同じでこのような式になります xcom にドッドはこのような式になります k さんの家庭は一つ目の要素は急にと cos 9位という時間に依存した変数の 掛け算を微分するのでまず片方を時間で微分した急にドットにもう片方の cos 91 をかけたものが現れそれプラス逆側の cos 機
(39:48) 11を時間で微分した-9一度とサイン91にもう片方の急にをかけたものになります 二つ目の要素も同じように計算できます 3つ目の要素は91の時間微分なので91.とも止まります これらを持ちヤコビ行列を計算しましょう xcom 1.に関するヤコビ行列は 回転関節の場合と同様にこのように計算できます xcom にドットに関するヤコビ行列はこのように計算できます k さんの家庭は例えばヤコビ行列の一応1列目は xcom 2.の一つ目の要素に含まれる91.に関する成分がマイナス級2級一度と サイン91なのでそれから9一度とを除いた
(41:01) -9にサイン91となります 他の幸も同様に計算するとこのような行列を得ます ここまでも止まればあとは完成行列の定義に従って計算すると完成行列が求まります 関西行列が求まればその完成強烈を m として運動エネルギーは1/29.ペンチ m 9.とも止まります 運動エネルギーが求まればラグランジの運動方程式を用いれば運動方程式が求まります よってここで求めたヤコビ行列がわかればあとは決められた手順で計算すれば 栄進関節を含むリンク機構の運動方程式が求められます 今週の内容は以上です
(42:07) それでは以上を踏まえて1週間後に出題される小テストに回答してください おつかれさまでした
