材料力学の演習（初級編）：柱の自重
00:00 問題を解く準備
00:25 問題１
01:20 問題１の答え
02:40 問題２
03:27 問題２の答え
05:11 問題３
05:50 問題３の答え
09:06 まとめ
【書き起こし】(2) 柱の自重で生じる応力の求め方を演習しよう！【材料力学の演習（初級編）】
(00:01) こんにちはこのシリーズでは 身近でイメージしやすい演習問題を解いて 材料力学をもっと理解していきましょう 今回は 柱の自重です 柱地震の重さで生じる応力を考えましょう 今回の問題はこの動画で紹介した内容を もとにしています 問題に進む前にぜひこちらの動画をご覧 くださいそれでは問題1です 直径が0.30mの電柱があります 直径は上から下まで同じとします 地上から10Mの高さより上の重さが 1000kgの時 電柱の地上から高さ10メートルまでの 範囲に生じる圧縮応力はいくつでしょうか ここで 問題をシンプルにするため 長さ10メートル 直径0.30mの柱の先端に1000kg の荷重が作用している状態と考えて応力を 計算します 電柱はコンクリート製の円柱として 密度は2.4×10の3乗kg/立方mm
(01:06) としますそれではこの問題を解きましょう 一旦動画を止めて 解き終わったら個体に進んでください 問題1の答えです 柱の先端からの距離をxとすると Xの1に仮想的に設けた断面より上側に ある柱の体積は 直径をDとして4分のパイD2乗Xで直径 Dは0.30なので 数値を代入するとこのように求まります この断面に作用する荷重Fは 仮想断面より上の体積×密度× 重力加速度+過重なので 数値を代入するとこのようにXの一次式に なります 断面に生じる応力シグマは 荷重わる断面積なのでこのようになります 力の単位がニュートンで長さの単位が メートルなので 応力の単位はパスカルです
(02:10) 単位をメガパスカルにするとこうなります 先端からの距離Xと圧縮応力の関係はこの グラフになります 圧縮応力は先端が一番小さく Xとともに一次式で増加して 根元で最大になりますこれは 断面積は同じなのに 根元に近くなるほど柱の自重による果汁が 大きくなるためです 根元に近いほど柱自身の重さの影響を 受けるのはイメージしやすいですね 問題2です 問題1で根元の応力が大きかったので 根元の応力を小さくするために 先端から根元まで直線的に太くしました高 さは問題1と同じ10メートル 先端の直径も問題1と同じ0.30mです が 根元の直径を0.40mに変更したとき 連中に生じる圧縮応力は高さによってどう 変わるでしょうか 密度は問題1と同じ2.
(03:12) 4×10の3乗 kgパー立方mmですそれではこの問題を 解きましょう 一旦動画を止めて 解き終わったら答えに進んでください 問題2の答えです 柱の太さが直線的に変化するので 先端からの距離をxとすると Xの位置での仮想断面の直径Dはこのよう にXの一次式になります 先端からの距離Xの仮想断面より上の堆積 部位は 積分して求めることもできますが 積分しなくても 幾何学的にこの大きさの円錐の体積から 青色で示す円錐の体積を引けば求まります はじめの円錐の体積がこの式で 青い塩水の体積を引くとこの式になります 数値を代入すれば Xの3次式として求まります この仮想断面に作用する荷重Fは 断面より上の自重と先端の荷重の輪なので
(04:17) この式になりますこの断面の断面積Aは この式で 初めの直径Dの指揮を代入しますこれで 果汁Fとダン面積Aが求まったので 仮想断面に生じる応力シグマは荷重を断面 石で割った英文のFと求まります Xが0から10Mの範囲の各断面の荷重F 断面遺跡A応力シグマを整理するとこの表 になります 先端からの距離Xと圧縮応力の関係はこの グラフになります 問題1で求めた直径が一定の柱と今回の 問題にで求めた根元に向かって太くなる柱 の応力を重ねて示すと 問題2では根元を太くしたことで根元の 応力が小さくなったことがわかりますです が 先端と比べると根元の応力はまだ大きい ですね 問題3です 問題にでも根元の応力が大きかったので 直径を直線的に増やしたり根元の直径を 決めるといった制約を取っ払って
(05:21) 先端から根元までの応力が一定になる形状 を求めることにします高さは10M 先端の直径が0.30mのときどのような 形状になるでしょうかただし 断面形状は円形としますそれではこの問題 を解きましょう 一旦動画を止めて時終わったら答えに進ん でください 問題3の答えです 密度を 重力加速度をジーとします 先端の断面積をA0 応力をΣ0とすると 応力Σ0は荷重を断面石A0で割れば 求まるので 数値を代入すれば シグマゼロが求まります 単位をメガパスカルに変換しておき ましょうこれで目標の応力が決まったので 柱全体の応力がこの応力Σ0になる形状を 求めましょう 先端からの距離Xの断面積をAとして
(06:26) Aはxの関数とします Xが微小長さDX進んだ時にできる領域を 考えます 拡大するとこのような 上側の面積がAで高さがDXの領域です XがDX増えた時に増加する過重DFは この領域の重さなのでDF=logadx です XがDX増えた時に増加する断面積DAは 図のこの面積です Xの1での応力がΣ0の時 xがDX増えた時に増加する過重DFを 増加する断面積DAで割った値がシグマ0 であれば DX増えた時の応力はシグマ0のままなの で 応力一定の条件を保てます 式で表すとこのようになりますこの式を 変形して 積分すると 積分定数をCとしてこの式になります この式を変形すると 断面積Aはこの形になりますここで 先端のX=0の時の断面積AがA0なので
(07:33) そこからEのC以上=A0になります 従って 断面積Aはこの式になります 断面形状は円形なので 先端から根元までの応力が一定になる形状 は 先端からの距離Xによって直径Dがこの式 で変化する形状になります ややこしい式になりましたが xが0から10Mの範囲の直径Dはこの表 になります グラフで形状を書くとこのように根元に 向かって指数関数的に広がっていく形に なります 根元の直径は0.7m以上あるので 問題2の0.4mよりもかなり大きくし ないと応力は一定にならないことがわかり ます この問題は 指数関数の積分を考えないといけなかった ので 材料力学というよりも数学的に少し 難しかったですね 解けましたか なお東京タワーのように背の高い建築物で は 自重の影響が大きくなります 自重以外にも様々なことが考慮されるので
(08:39) 今回の計算結果そのものの形ではありませ んが今回計算したように根元に向かって 広がっていく形状が用いられていますね 他には 電柱は上から下まで一定の太さに見えるか もしれませんが 実は根元が太くて先端は細くなっており 自重の影響を考慮した形状になっています 自重を考慮して形状が決まっているものは 身近にたくさんありますね まとめです 自重が作用する柱では 外力だけでなく仮想断面よりも上の柱の重 さが荷重として作用するため 根元に近いほど火葬断面に作用する荷重は 大きくなります 応力は 果汁ある断面積で求まります 従って断面積が同じなら根元に近いほど 応力は大きくなります 柱の自重で増加する荷重と断面石の増加の 被害であれば 応力は一定になります 応力一定になる柱は根元に向けて指数関数 的に断面的が増加する形状になります
(09:45) 今回のご視聴ありがとうございましたこの チャンネルでは 材料力学を分かりやすく紹介したり材料 力学を生活に役立てたりしています ぜひそれらの動画もご覧ください チャンネル登録と高評価もお願いします それでは 次回の動画でお会いしましょう
＜関連する動画＞
応力
材料力学がどの様に役に立っているかや生活の中でどの様に活かせるかを考えるチャンネルです。
このシリーズでは、材料力学を生活で役立てられる様に、身近でイメージしやすい演習問題を解いていきましょう。
連絡先：zairiki.channel@gmail.com
#柱の自重
#演習問題
#材料力学
