バイメタルの変形を計算しよう!温度変化で反る現象の求め方【材料力学の演習(応用編)】

材料力学の演習(応用編):バイメタルの変形

00:00 問題を解く準備
00:22 バイメタルとは?
01:25 今回の問題
02:15 バイメタルの変形の求め方
04:25 部材のひずみの求め方
05:50 曲率半径Rの扱い方
06:48 バイメタルの変形の式の導出
08:16 今回の問題の答え
08:48 まとめ

 

【書き起こし】(2) バイメタルの変形を計算しよう!温度変化で反る現象の求め方【材料力学の演習(応用編)】 

(00:00) こんにちはこのシリーズではこれまでに 紹介した内容を応用する問題を解いて 材料力学をもっと理解していきましょう 今回はバイメタルの変形です今回の問題は これらの動画で紹介した内容をもとにして います問題に進む前にぜひこちらの動画を ご覧ください バイメタルとは何だかわかりますか2種類 の材料が積層された構造が 温度変化すると2つの材料の熱変形量の 違いによってソリ変形が生じますこのよう な構造をバイメタルと言います直訳すると 2種類の金属という意味ですが金属以外の 材料が反る現象も一般的にバイメタル効果 と言います バイメタルはスイッチなどに用いられる ことが多いです 温度が変化するとそれが生じてある温度 以上になるとスイッチが入ったり切れたり するという使い方ができます バイメタルが使われる製品の例として 温度計があります
(01:05) 温度によって生じる変形を使って 温度を示します こたつやアイロンなどにも用いられます これらの製品では高温になりすぎると 危ないのである温度以上になったら スイッチが切れるようにバイメタルが用い られます今回はバイメタルの変形を求め ましょう長さがL幅がB高さがそれぞれT 1とT2のバイメタルを考えます 各寸法はこの表の通りです 2つの部材は制動とインバーとします インバーというのは徹夜ニッケルでできて いる合金で時期の効果によって潜望超係数 が非常に小さくなる金属なのでバイメタル によく用いられます 材料の縦断性係数を良い 潜望町係数をアルファとするとそれぞれの 物性値はこの表の通りです制動と比べて インバーの潜望鏡係数は非常に小さいです このバイメタルの温度が100度上昇して 反り変形するときこの変形量はいくつ
(02:10) でしょうかそれではこの問題を解き ましょう とは言っても難しい問題なので一緒に考え ていきましょう まずいくつか家庭を置きます一つ目は部材 はせん断変形しないものとします2つの 部材の合成が同じくらいであれば 船団変形はほとんどせずに反り返んします 一方 片方が極端に柔らかいと 船団変形が大きくなります例えば 鉄とスポンジの組み合わせだとスポンジの 先端変形が主になってソリ変形はほとんど 生じません今回はこのような極端な条件で はないので 旋盤変形しないものとします 2つ目としてどちらの部材も組成変形はせ ずに男性変形のみとします大きく変形して 降伏点を超えると組成変形が生じることが ありますが今回はそこまでは考えません 3つ目として 剃りの曲率半径は板厚よりも十分大きい
(03:14) ものとしますバイメタルではソリ変形を 活用するので 剃りやすいように薄い部材を用います そこで 剃りの曲率半径は板厚よりも十分大きいと 考えます これらの条件でバイメタルの変形を求め ましょう 上の部材を部材1下の部材を部材にとし ます部材1と2に作用する軸力をそれぞれ F1f2として部材1と2に作用する モーメントをそれぞれM1M2とします 実際には2つの部材は接合されていますが 仮想的にバラバラにして考えますバラバラ なのでソリ編形するときは部材1と2が それぞれ自由に変形しますですが実際には 部材1と2は接合されているので部材1の 下側と部材2の上側は同じように変形し ますつまり部材1の下側の歪みと部材2の 上側の歪みは同じはずです したがってこれらの歪みが同じになると
(04:17) いう条件から 過重FやモーメントMを求めれば良いです ね 順番に歪みを求めましょうまず部材1の 下側の歪みを求めましょう部材1には 熱歪みと 果汁F1による歪みとモーメントM1に よる歪みが生じます メツヒズミは 潜望町係数と温度変化量の席なので アルファ1デルタTです 荷重F1による歪みはフックの法則から この式になります モーメントM1による歪みは 断面係数Zを使ってこの式です曲げ変形 するので上側にはプラス下側にはマイナス の歪みが生じますこの動画で紹介したよう に長方形断面の断面係数はこの式なので 代入するとこの形になります部材1には これらの3種類の歪みが生じて部材の下側 はM1による歪みがマイナスになるので この式になります
(05:21) 次に部材2の上側の歪みを求めましょう 生じる歪みは先ほどと同様に 熱ひずみ加重F2による歪みモーメントM 2による歪みの3種類ですそれぞれの歪み は部材1の時と添え字が変わるだけなので これらの式で表されます部材2にはこれら の3種類の歪みが生じて部材の上側はM2 による歪みがプラスになるのでこの式に なります 次に曲率半径Rとモーメントの関係を考え ましょう部材1にモーメントM1が作用し て曲率半径Rの変形をするときモーメント M1とRの関係はこのようになります愛は この動画で紹介した断面二次モーメント です 長方形断面の断面に地毛面とはこの式なの で代入して 式を変形すると曲率R分の1はこの式に なります 次に部材にを考えますはじめに 剃りの曲率半径は板厚よりも十分大きい
(06:28) ものと仮定したので部材1と部材2の曲率 半径は同じと考えることができます したがってモーメントM2が作用して曲率 半径Rの変形をするとき RとM2の関係は先ほどと添え字が変わる だけですここからM1とM2の関係が 求まります ここまでに導いた式を使ってバイメタルの 変形を求めましょう 部材1の下側の歪みと部材2の上側の歪み が同じであることからこの式が成り立ち ます力のつり合いからF1とF2の輪は0 です モーメントの釣り合いからこの式が 成り立ちます 先ほど求めたモーメントmと曲率半径Rの 関係はこの式でしたこれらの4つの関係 からF1f2M1M2を消すと曲率 R分の1はこの式になります 複雑な式になりましたね 曲率が求まったのでバイメタルのソリ量を
(07:33) 求めましょう ソリ量をデルタとして曲率半径やRを表す とこのようになりますこの時この三角形を 考えると3辺がLR100デルタRの 直角三角形になります したがって三平方の定理からこの式が 成り立ちますデルタの二次式ですがデルタ の2乗はLRと比べて十分小さいので無視 するとソリ量デルタはこの式になります これらのことからバイメタルの変形量では この式で表されます 機はややこしいですが 材料力学の基礎を積み重ねていけば たどり着けましたね ようやく式が求まったので今回の問題の 答えを求めましょう今回の問題の数値は この表の通りでしたこれらの値をこの式に 代入すると 3.53mmと求まりますこれが今回の 答えです今回はバイメタルのソリ変形の式
(08:37) を求めましたこの式はバイメタル以外にも 様々な現象を扱うことができるので別の 動画でその事例を紹介する予定です まとめです 官房長係数の異なる2種類の材料の積層 構造をバイメタルといい 温度変化で剃りが生じます 長さえる高さT 縦弾性係数E選ぼう超係数アルファ 温度変化デルタTとして部材を12とする とバイメタルのソリはこの式で表されます 今回のご視聴ありがとうございましたこの チャンネルでは 材料力学をわかりやすく紹介したり 材料力学を生活に役立てたりしています ぜひそれらの動画もご覧ください チャンネル登録と高評価もお願いします それでは次回の動画でお会いしましょう

<関連する動画>
熱変形、線膨張係数

熱応力

断面係数

断面二次モーメント

材料力学がどの様に役に立っているかや生活の中でどの様に活かせるかを考えるチャンネルです。
このシリーズでは、これまでに紹介した内容を応用する問題を解いて、材料力学をもっと理解していきましょう。

連絡先:zairiki.channel@gmail.com

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