機械系の必須科目、流体力学。つまづく人も多いと思います。流体力学をこれから学ぶ人、少し勉強したもののあまり理解できるイメージが湧かない人、是非一度見てみてください。
【書き起こし】【流体力学】流体力学の全体像
(00:01) はいどうも今回は流体力学の全体像ということで 流体力学について話していきたいというふうに思います 履帯力学って機械系の学科だとまぁ4力学のなかの一つというふうに数えられていて まあ必須になっているかと思いますが流体力学少し難しいので まあここでつまずくという 人も多いんじゃないかと思いますで僕の考えなんですけどなぜ流体力学でつまずいて しまうかっていうのを自分なりに考えたんですけれども おそらく事業の仕方に少し問題があってどういう風な事業がされているかと言うと一番 最初に ベルヌーイの定理であったりとかは水遊龍クレット流であったりとか すごく特殊な状況のものを取り上げてでまあそれについての解き方っていうのを教えて そこから少しずつ少しずつ一般の場合に拡張して言って電話最後の方でナビエ ストークス方程式っていうラスボスがありますよ みたいな説明をされるんですよねでまぁその説明ってわかっている人から見れば まあ一個ずつ知識を増やしてい て まあ教えて言ってるからいいじゃないかと思うかもしれないんだけどわからない人全く
(01:07) わからない人が聞くとその一個一個のね最初のベルヌーイの定理とかそういう話を聞く ときにそれっていうのが流体力学っていう学問全体の中でどこら辺の話をしているの かっていうのが全くわからないからそれはから ない状態で聴いてもやっぱり全体像が見えてこないんですね でそこが多分つまずく原因の一つなんじゃないかなというふうに思ったので今回はそれ をまあ克服できるような事業ということでやりたいというふうに思います それではまず最初に流体力学ってそもそも何を解きたい学問なのかというのを確認して いきたいというふうに思いますでは流体力学って当然流体の動きであったりとか状態に 関して と期待というような学問になりますなので求めたい未知数というのは何になるかという と一番は流体の速度になります 流体の速度 まあ求めるというのがまあ一番大きな木所でまあそれ以外にも流体っていろんな パラメーターを持っているはずで 密度であったりとかまぁ圧力であったりとか温度であって まあいろいろなパラメータを持っているのでそれもまあ決定してきたというのが
(02:12) 流体力学のまず大きな目標の一つということになります はいそれが未知数を確認していきたいんですけど ども その前に流体力学には大きくわけてまあ方法が2つあって でまぁ片方の方法が一般的にすごく多く使われていますそれはまあ数学的な扱いが簡単 だったりとか まあきれいに計算ができたいというところからきているんですけれども敗訴の方法です ね よく使われている方法のことを はいオイラーの方法というふうに言いますでこのおいらの方法って何かっていうと未知 数ですね 先ほど行った速度であったりとか密度であったりとか圧力であったりというのを ばの量だという風に考えるというのがおいらの方向になります つまり3次元空間の中のある一点を指定したときにその一点において流体はどんな速度 を持っていますか その一点において流体はどんな圧力どうな密度ですかというのを考えるこれがまあ ボイラーの方法になります
(03:14) はいじゃあそれ以外にどんな方法があるかと いうとオイラーの方法に対応するのか はいラグランジェの方法と呼ばれるものがあるんですけれどもこれはどちらかというと 古典力学的な イメージが強くて 流体入試1個1個の位置を追っかけて言ってそいつらに関する微分方程式を解こうと いうのが ラグランジュの方法になりますただこっちゃ数学的な扱いがすごく複雑になったりする のでもっぱら オイラーの方法の方が用いられますはいではこれからオイラーの方法について説明をし ていきたいというふうに思います はい未知数何かというと先ほど言ったようにまずは v が未知数としてあります v これは流体の速度ですね速度は3セーブ持っているはずなので x 成分は異性運 z 成分と 3つあります a というような感じでほかにはどんな変数 どんな未知数があるかというとロー3角であったり p 圧力 t 温度であったりあとは s エントロピーみたいなものもありますね はいえーまぁこういうふうに未知数がたくさんあるんですけれども
(04:21) 下に書いてあるものをちょっと確認しておきましょうこの部位というのは 流体力学に特有の未知数だという風に考えることができます a 一方ですね部位以外のローであったり p であったりキーであったり s であっ たりっていうのはこれはう ね釣り客ん熱力学で出てきますよね熱力学的な未知数 ね というような呼び方がまあされますでこの熱力学 で出てくるようなまあ状態変数って言うんですけど 状態変数は まあたくさんあるわけなんですけれどもそのうちで独立なものは 2個しかないよというのを熱力学で習うと思います つまりこのうちの2校を決定すれば残りのすべてはまあその2つから決定できるという ことになりますで 流体力学においてこの熱力学的な変数を扱うときに普通は 密度労働
(05:26) 圧力 p を変数として扱います はいなので今までのことをまとめるとどうなるかというと速度の3成分と 熱力学的未知数の中の2つ フロート p の 合計5個の未知数を決定したいよというのがまあ流体力学の目標というふうになります で最後に確認ですけど今言ったことですね uvw ローぴみたいなものはオイラーの方法においてはこれらはすべて xyz キーの関数として書かれるはずです xyz というのは先ほど言ったように3次元空間の中でどの位置ですかというのを 指しています レティというのはいつの時刻ですかということですね つまりもう一度言っておくと流体力学の最終的な目標は何か条件を与えた時に3次元 空間の中である一点とある時刻を確定させれば
(06:33) それに対して速度 v であったりローであったり p だったりというのが分かり ますよというような状態にするのがデータ力学の一番の目標ということになります じゃあこの後この道性についてえーどうやって解くのかというのを次に見ていき ましょう はいでは次に支配方程式について見ていきましょう 兵庫この未知数を決定するのが目標だよという風に言ったので 式は5本必要なんですけれどもここにまあ5本の史記を書いています3本だけです けれども一番上の ナビエストークス方程式がレクトル酸成分ある方程式になっているので 実質5本ということになりますはいそれは1本ずつ簡単でですけど確認していき ましょう 一番上ナビエストークス方程式ですねえぇまぁ一番親玉です流体力学のでこいつは ッパ古典力学で言うと運動方程式に対応するようなものです でまぁそれぞれの項について詳しい解説は予備の離散と ですごい良い動画があるのでそれを見て勉強してくれればいいんですけど一応簡単に どの子が何だよというのだけ書いておくと
(07:37) 一番最初のこれが 加速度を表す号になりますで を文字の d で見慣れない微分をしているなと思うかもしれませんがそれここですね 定義はこんなふうに書いていてでこれ何かっていうと これ先ほど言ったようにオイラーの方法を用いて書いた方程式なんですよなんですけど この加速度の部分だけは流体粒子に沿ってまぁ1個の流体粒子を追っかけて微分してい ますつまりオイラーの方法で書かれた方程式の中にありながら ラグランジュ的な考え方が入っているよねということでこの日分のことを はいラグランジュ微分というふうに言います 1個目の工場ラグランジュ微分で加速度を表します 2個目系は はいこれが威力を表しますまあ解析力だと思ってくれてもいいです次が 圧力こうですねはいやそして一番最後の塊が
(08:44) 編成力の方になりますえっとまぁ 接線方向の応力ということなんですけれども マー油とか想像すると分かりますねえと粘っこいような 力が働くというのが年勢力になりますでやっぱに見るという文字を書いていますが こいつは 動粘性係数という風に呼ばれるもので粘性係数を 粘性係数を密度では2ものになります でへマナビスとクソ方程式が運動方程式に対応するもので3本分式があるよとい 3本分の意味があるよというふうに言いましたで残りの2本は下に書いていますが連続 の式ですね これはまあ古典力学で言うと質量保存に相当するものですけれどもまぁこんな感じで 書かれます でも1本がエネルギー法 形式ですねまあこれはエネルギー保存則に対応するものでまぁここにもラグランジュ ビールが入ってますけどこんなふうに書かれます ファイトか9とかスモール級とかいろいろ入ってますけどここはちょっと今回は 踏み込みません
(09:49) でなんで最後の na 方程式に踏み込まないのかというとですね このエネルギー方程式って結構まあ年生がない場合とか 中での熱の発生がない場合とかってこっちの 右辺が全部0になっちゃって結局等エントロピーですね みたいな風に扱えたりするので別の棟エントロピー条件の式とかで置き換えることが できます で実際にはそちらへ置き換えて使っていくことの方が多いのでこのエネルギー方程式を まま使うよということはあんまりありません i じゃあこいつを置き換えるもう1本 の式というものを注ぎで見ていきましょう はいでは次に貼ろうとロ p 性について説明したいと思います バロトロピー性という間言葉があってパロトロピーせってなにかというとこんな感じで 式で書くことができます これがバロットロ p 製ですみつ取ろうというのが何かしら p だけの関数出かけるよこれがバロートロピー性ということになりますのでこの バロットの p 性を仮定することでこの式を
(10:54) エネルギー式の代わりに使うことができます じゃあ例を見ておきましょう例えば液体の場合 マーク で貼ろうとロ p 制課程できるんですけどどういうバロートロフィー戦になるかと いうところです はい液体の場合は3つのほとんど変わらないという風に考えられるのでまぁ p の 関数にすらなってないですけどまぁ係数関数という風に考えてあげレバーマーフィーの 関数になっているという風にとらえられてバロートロフィー性の中のは特殊なものです ね a というふうに言うことができます行きたいならええまあ 密度一定だよという風にすることが多い ですはいじゃあ期待の場合はどうなるかっていうと馬こんな感じでやったりしますね 頭膿んであれば 状態方程式から はいえマーロウ= rt 分の大きいみたいな感じで状態方程式から持ってくることが できますてぃ定数なので ローワー p に比例する形ですねはいえーまぁ断熱だったらこれまあよく見たこと あると思うんですけど i 魔族にポアソンの式と呼ばれるやつですねローガッキーのガンバ分の1常に正比例 しますよ
(11:56) ac はなんか定数だというふうに思ってくださいこれもローが p の関数 p のみ の関数でかけているのでバンドピースの過程ということになります デーボのトロフィー性を仮定してエネルギー式の代わりに使用していくんですけれども この後の編チキ変形で使うものとして圧力関数というものを定義しておきましょう i 圧力関数って何かというとこんな感じです はい ロー分の1を p で積分したものですねで今 バルトロ p 制課程しているのでこの3つ取ろうというのは p の関数です なので p の関数を p で積分しているのでこの圧力関数自体もキーの関数という ことになりますでまぁこの圧力関数実際にこの123番で計算するとどういう形になる かというのをちょっと書いておき ましょう a man 山でもできるかもしれませんが一番はそこままですね ローンが定数なのでそのまま積分するとローブの b になります 二番目は アルティログの op ですかねで3番目
(13:03) これよく使いますね圧縮性流体でよく使う式ですが はいが-1分のガンマのログの日ということになりますまあこの計算は出来ると思うの で是非行ってみてください 冷漠の圧力完成定義すると何が嬉しいのかというとそれをましたに少しだけ書いておき ましたこの時この圧力関数の えっと空間微分ですねええ gradient 取ったものっていうのは今この圧力関数自体が p だけの関数に なっているので合成関数の微分みたいに考えてあげて 圧力関数を圧力 p で b 分してあげてその中身の圧力 p の縫合空間微分する よっていうこの2つの席で書くことができるのでこの 辛く関数を聞いで微分したものって定義から明らかにロー分の1 そのものなのでロー分の1と 後ろが gradient の p ということになってこの形が出てくるんですね この形ってナビエストークス方程式の中に入ってますよね
(14:08) なのでここ5圧力関数の蔵限度で書くことができるよというのがまこの圧力関数を定義 する利点というふうになります 次にレイノルズ数と非粘性流体について話したいというふうに思います レイノルズ数はよく聞くと思いますが流体力学で一番重要な無次元パラメーターという ふうに言われていますじゃあ出所はどこかというとこんなことを考えてみましょう a マ方程式の ホテヒはどんな振る舞いをするか起きる見るために ナビエストークス方程式を無次元化しましょうでへまあ言うと帰るとか色々書いてます けど違うっていうのはまあ基準となる速度得るというのはまあ基準となる長さ みたいな感じです言わまあ無限遠での竜速 l はまあ考えている物体のまあ長さみたいなものを撮ることが多いですねぇまぁこれ らを使って無次元化すると ナビエストークス方程式はここですね下の様に書かれます でちょっと外部外力型については省いているんですけどまぁここ入ってても同じような 議論ができるので気になる人はまあ教科書で調べてみてください
(15:18) 県は省いてナビエストークス方程式無次元化するとこんな感じに出てきて でその時にここに入っててきますねとこの ああ ルギーと書いたのが レイノルズ数ですで具体的にはどういう形になっているかと言うとこんな感じです はい動粘性係数 new 分の遊園 ということになっています でまぁこの方程式の形を見てくれれば分かる通りこのレイノルズ数っていうのが めちゃくちゃ大きい値だった場合レイノルズ生のレイノルズ数分の1っていうのが すごくちっちゃくなるのでここの塊ですね 後ろのカッコの中自体をは方程式の中から無視すること ができますでこの後ろの学校の中って何だったかというとこれ 年勢力なんですよね レイノルズ数が1よりものすごい大いく大きい場合には年勢力をまあ無視しましょうと この子が完全になかったものとしましょうということにします
(16:26) でこの公が完全にないよという風に近似する すごく近似して扱うような理論のことを非粘性流体の理論というふうに言いますへ年生 の部 麺を完全に無視します行列数が大きい場合には非粘性流体として扱うことができます ということになりますでまぁこの後からの説明は基本的に非粘性流体について行なって いくんですけれども 当然非粘性流体じゃない年生があるよ粘性流体だよとして扱わないといけないものも 流体力学のなく にもらってでますの中で代表的なものをちょっとこっちに入っておきました えーまぁ最初に話してやつですけどクレットゴア水余裕であったりとか 境界層理論であったりとかあとはまあストークス矜持とか そこら辺の話っていうのは年性を考慮した上で ナビエストークス方程式を解こうということをやっている話になります 電話厳密には溶けないのでまぁ何かしらの二次元にするだとか1時限にするだとか 簡単にする矜持を他の堅持を使って解くというのがここら辺の話になりますが 今日の話ではここにはまあ組み込まずにいきたいというふうに思います
(17:33) i じゃあレイノルズ数がでかいと記念勢力が無視できる粘性流体として扱いましょう というふうになると元々のナビエストークス方程式はどうなるかというと はいここですね一番下に書いてます年成功が綺麗に切れてしまう て これだけの形になりますねはいこの形を非粘性流体の絵馬支配方程式ですこんな名前が ついています こいつのことオイラー方程式というふうに言いま アイデアこの後の説明はこのオイラー方程式を基準を基としてこいつを変形していき たいなというふうに思います はい次に打つ度方程式とラグランジュの渦定理について見ていきたいというふうに思い ます ここからの説明ではどんどんどんどん仮定を置いて話を進めていきたいとおもいます でその時に気をつけて欲しいのがどんな過程を置いたときにどんな結果が導かれたって いうそこをしっかり 関連付けて a 意識しながら見ていってほしいというふうに思います何の仮定を置いた結果としてこの 式が導かれた
(18:39) 逆に言うとこの式を使っていいのはこういう過程が成り立つ時だけだよねえっていう風 な関係性をしっかり気をつけながら見ておいてください でえー今回の板書ではすでに一年生を仮定してます 一番上に置い エラー方程式を変形して持ってくるよっていう説明会てるのからも分かるんですけど 今回の板書はもう全て一年生を仮定していますわかりやすいように上に書いておけます 第一年生を仮定した上で話を進めていきましょう会いじゃあまず 渦度ベクトルの定義からいきましょう はいえーそうですね速度ベクトル v-ローテーション 回転を取ったものが渦度ベクトルオメガーですね という風に定義されますはいでこいつを用いてオイラー方程式を変形していきましょう すると次のように運転することができます はいさっき書いたオイラー房亭四季思い出してくれる とうへまま何も変わってないのがわかると思いますで餌編のほうなんですけどこれ まあ普通に数学的に変形をしただけです まあ定義から入れてあげるとまぁ成分計算してあげると同じになることが分かります ただの変形です
(19:46) はいでここからさらに変形をしますがそのときに2つか体を置きます はい1個目は兄が保存力であるというような過程をおきましょう 保存力って何かっていうとまあ重力とかみたいな感じで ある場所 一致点に関し一致点に対してへまただ一つ力が定まるようなものを保存力というふうに 言いますが 保存力の場合はポテンシャルが存在しますね外力ポテンシャルが存在するので 兄が保存力であるという過程があるとこういうことができる はい まあ何かスカまあ両大文字の梅がで書いてますけど スカラー量ですね外力ポテンシャルを用いてその gradient として保存力系 が書けますよこれが系が保存力であると仮定した時にかける式ですねはい でもう一個ばのトロフィー性を仮定しましょう粘るトロフィー性はさっき説明したよう にローが p だけの関数になっているよう というものなんですけれども 5回ようにこっちを書いておきましょうか はいそうですね圧力関数がこの形になりますよ
(20:53) 江原トロフィー生が成り立つときにはコレが出来るんでしたねはいえーそれと上の式が このように変形されるはずです これ簡単ですね 体のところにこいつが入って ねぇここにこいつがいる圧力関数が入るので gradient gradient gradient となるのでグラジェントで くくってあげるとこの四季マンマになりますね 愛でさらに変形しますこの式から両辺のローテーションを取っておりますそれとどう なるのかというとまずここは v-ローテーションとるので オメガ渦度が出てきます でここは gradient なんですけど gradient のローテーション 取ると無条件で0になりますねえなのでここはゼロになっちゃってあとは受けなきゃの これええというような形になります でここからさらに変形するんですけどこの次の勉強はちょっと難しいので気になる人は 教科書とかで調べてみてください まあ連続の式 とかあとはベクトル解析の方式を用いて変形するとこんな形に持ってくることができ ます はいでこいつは今回のテーマにもしている はい渦の方程式という風に呼ばれるものです
(22:03) でまぁこの渦度方程式を見て まあ眺めて眺めてこんなことを言っているんじゃないか分かるなっていうのが 次に各ラグランジュの渦定理と言うやつです はいラグランジュの渦定理というのはここに書いたような内容になります はい以上も仮定のもとでというのはまあ今までの過程ですね 一年生兄が保存力えばろトロフィー流体であるよというような過程をすると次のことが 言えますよ 渦は不生不滅です不生不滅っていうの は最初になければずっとないし最初にあればずっとあり続けるよというような意味に なります でこれが渦で方程式から言えますよということです ちょっとだけ説明しておくとまぁこことここに打つのが入ってますね オメガ入ってますデウスとが最初ゼロだったってことは まあここゼロで当然こっちもゼロなんですけど このラグランジュビューんで何意味してるかっていうと 流れにそってまあこの格好の仲がどういう風に変化するかっていうのを表しているので もともと渦度ゼロだったらそもそも変化0所
(23:11) a というようなことになります なのでゼロだと変化もゼロなのでそれはずっとゼロですねとまぁぜんざい生まれません よというようなことが言えます で絵馬堂ような議論で会った時にはずっとありますよというようなことも言えます はいでこのラグランジェの渦定理なんで重要なのかというとですね まあ次のようなことが挙げられますえっ 渦があるかないかで流体力学の問題の扱いの簡単さがかなり違うんですよ 渦がないとものすごい簡単ものすげえといってもちょっと難しいんですけども簡単に なるんですけど渦があるとめっちゃ難しいんですよ なので僕らと慕うずなしという条件で問題を解きたいんですね ときたいんだけど本当にウズなシュって言う 条件で磨いた時に現実の流体の流れを表すのか っていう風に待つ込まれるわけですよそのときに大丈夫ですよって言えるのがこの ラグランジの渦定理です もともとなければ渦は生じ得ないわけですなのでまぁ流れとして まあもともとこうまっすぐ惣流って言いますけどまっすぐ流れているような流れを 考えればそれってどこまでいってもう すって生まれようがないのでまあウズなしっていう問題条件で磨いても実際に現実を
(24:20) 表すでしょということになります で本当だとまぁものとかが物体とかが流れの中にあるとまぁそいつに見いだされて実際 には渦が生まれてしまうんですけどそれっていうのは一年生とかの過程が成り立って ないからです えっなのでグッズ生まれてしまうんですけど渦が生まれる領域が もしちっちゃいのであればその渦がそもそも入っていないような領域っていうところ 考えてあげればそこあのグランジのず定理が成り立つからずっとないし逆に言うと ちっちゃいウスが生まれてしまえばまあそいつは一年生とかが家庭できるところでは ずっとあるよっていうようなことも言えるよっていうのがこのラグランジュの渦たりの 強い 3ということになりますはいそれでは次の話にいきましょうはいそれでは次に圧力方程 式とみんな大好きベルヌーイの定理について扱っていきたいというふうに思います今回 の板書ではすぐに一年生でが威力が保存力で 流体が腹トロフィー優待であるよということを仮定しています でエコの一番上に帰っている式は先ほどの板書でまぁ保存力バロートロピーを仮定した 後の式だよっていう風に書いたし気になります
(25:29) でちょっと置き換えをしてます gradient でで改革の塊っていう風になってたと思うんですけどあの格好の中 を h というふうに起きました えーまぁこっちに書かれているようなこんな関数ですでこの h に名前がついていて この ho ベルヌイ関数という風に呼んだりします はいなのでまぁさっき書いた式はベルギー関数を用いてこういう風に書くことができる と じゃあここからさらに仮定を置いて何が導けるかというのを見ますが2種類あります それぞれ家庭を置きますそれぞれ家庭を置きますはい1個目は 9色からウズなしの過程をおきましょう先ほどまあラグランジェの渦テリエを使って ウズなしの流れを調べる事も十分意味があるよという話をしたと思いますウズなしの 過程をすると何が言えるのかというとまあ当然オメガゼロですよね でこの時に渦がないということは v 速度ベクトルのローテーションがゼロですよね 速度ベクトルのローテーションがゼロということはベクトル解析のヘルムホルツの定義 を使うと
(26:35) v というのは速度ポテンシャルふぁいを用いて gradient で勝てるよねと いうことが言えます なので gradient でかい言ってあげると上の式はこうなりますね こない 当然オメガゼロなので不変はゼロになっています で gradient でくくってあげて t の微分はそんなの中に入ってきて こんな感じになっているという状態 はいっ でこいつを空間で積分します まくる館で席ベンツてもなブラを外すだけなんですけど で空間で積分するのでゼロのところは 時間の音にいて時間の兄関数なら ok です時間の22関数の場合は空間によらない のでナブラで微分すると消えちゃうので時間の握っていう 関数がえっと積分定数みたいな感じですね になってついていくでまぁこういう式が導けますよとファンと形見ただけじゃわかり づらいかもしれませんけどこいつ名前がついていて 圧力方程式というふうに言います ちょっと掴みづらいですねなぜ圧力方程式というのかは次ですね7番最後の板書で説明 したいというふうに思いますはいこいつ圧力方程式というふうに呼びます
(27:45) はいじゃあ1個ウズなしを加点するのではなくこの式から定常を仮定しましょう 低床って時間による変化がなしということなので ddt がゼロですね t による偏微分がゼロですというふうに書くことができる のってどうなるのかというとまあこうなりますね 単純に1れない晩成の gradient が v ベクトルかけるオメガベクトルですよというふうに言えます でこいつこの式が意味していることが下に覚悟 is です はいめちゃくちゃ有名なやつですねベルヌーイの定理と呼ばれるやつで多分みんなが 持っているものとちょっと形が違うと思います はいちょっと説明しておきましょうベルギーのでに s ごく一般的な ベルヌーイの定理を言っていますこれから何が言えるのかというと 龍泉またはウズ線に沿ってベルヌイ 関数が一定であるよというようなことが言えます はい流線またウズ線に沿ってこれどういう意味かというとこの式って lv 関数の gradient なのでこれベルヌイ関数がどっちの方向にまあ変化していっている
(28:54) か ベルギー関数の勾配を表していますでそのベル 有理関数が変化する方向っていうのは v とオメガの階席なんだから これって v ベクトルに対しても垂直だし オメガベクトルに対しても垂直ですねはいもう1回言うとベリー関西の変化っていうの は v ベクトルに揉めばオメガベクトルにも垂直です つまり何が言える かっていうと v ベクトルあるいはオメガベクトルに沿って移動すれば ベルヌーイ関数は ケースであるということが言えますが一定であるということが言えますはいこいつが まあ広い意味でのベルヌーイの定理ということになります でまぁみんながよく見るベルヌーイの定理はまあこいつを const だとして使うことが多いと思うんですけどその場合には結構な渦なしと形状両方を仮定 しちゃっていることが多いです渦の指定上両方仮定すると当然個々の渦度がゼロになる ので a も
(29:56) h の空間美分もゼロということになってこいつは全空間 でまぁ前時間において全区間においてヴェルヌいい 関数は 定数ということになるのでまぁそいつがよく見る ベルヌーイの定理ですね龍泉に沿ってじゃなくて全体でっていうのは ウズな人定常の両方を仮定すれば上げます定常だけの家庭だと留線に沿って またはウズ線に沿ってということは言えますこいつを一般のベルヌーイのと いうふうに呼びますはいそれでは最後に行きましょう はいそれでは最後に非圧縮性流体について説明していきたいとおもいます はい今回の板書ではすでに仮定しているのが一年生保存力バロートロフィー優待に加え てさらに ウズなしですねウズなしを仮定していますえずなしはさっき一個前の場所で真ん中に 帰っていたやつですね つまり圧力方程式が成立するよというような状況になっています はいじゃあどこから進めていくかというと最初に出てきて以来鳴りを潜めていた連続の 首位がここで出てきます
(31:01) 連続の式こういう式だったんですけれどもこれをラグランジュ微分を使って書き直すと えこんな風に書き直すことができますねこれはただの式変形なのでわかんない人は教科 書みて調べてください でもラグランジュ微分で勝てたんですけどはいここで冷やし粛清を仮定しましょう 非圧縮性も集まり圧力じゃなかった 密度が変わらないよというような意味ですねでは流体の中でも液体の場合にはまあこの 日は粛清 よく使うよということになりますはいぜひ圧縮性はどういう条件になるかというとこれ 間違いやすいんですけどこうですね ハイローのラグランジュ微分がゼロです 偏微分じゃなくてラグランジュ微分がゼロですね流れに沿って 流体密度は一定だよというようなのが冷やしくせーの条件になるのでこいつですね こいつ使ってこの式から考えてくれるとこっちもゼロにならないといけないので v-ダイバージェンスですね速度ベクトルなダイバージェンスが0だよということが 導い 彼ますはいそして次にこんなことをしましょう今ウズなしを仮定しているので先の
(32:08) 真ん中で行った話ですね ウズなし仮定しているので v ベクトルというのは 速度ポテンシャルファイの gradient 出かけますねと 位でこいつをまあ代入しましょうにするとまぁすぐ分かりますね ラプラシアン が出てきてこういう方程式が出てくるはいお名前はみんな知っているとおり はいラプラス方程式ですね流体力学に限った話じゃないですけどこの形のものを ラプラス方程式というふうに呼びます はいそして今もう1本成り立つ式を下に書いておきました これ何かというと先と見た目違いますがこれ圧力方程式です 圧力方程式の h ベルヌーイ関数の部分をちゃんと書き下してあげて そして 圧力関数ですね圧力関数をも赤面した形にしています なぜかと言うと今冷やし曲を いや粛清を仮定しているのでローというのは一定ですへなのでこれロー分のピートを かけるよというふうに言いましたね なのでこんな感じでかけるローバーも定数です はいでこれで何ができるかというと ラプラス方程式を解いて
(33:18) 右側のポテンシャルを求めてそれと微分することで v ベクトルを求めます で b ベクトルがも止まったら即がポテンシャルがも止まったらそいつをこの式に 代入することで p を決めることができるんですねなので文字を説明しておくと 一年生保存力がろどろぴー goods なしでさらに冷やし9性流体の場合には ラプラス方程式と圧力方程式の連立で a はすべての道数を決めることができると でまあこれがまあよくやる8理論というふうになります でまぁラプラス方程式からポテンシャルキメってその後で p を求めるのがこの下の方程式なのでこいつは圧力方程式というような名前がついて いるということになります はいでまぁこれ非圧縮性流体はこんな感じで扱うよと言ったんですけど ここからさらに はい今までは3次元の話ししてたんですけど二次元なんかを仮定してあげるとよく見る はい f クソ速度ポテンシャルの理論なんかにもっていくことができます
(34:29) はいということですねでまぁここらへん習った人もいると思うんですけれども めちゃくちゃいろんな仮定を置いてきておいてきておいてきてまあ最後やっと たどり着けるようなものです なので 今回言ったように全体像はどんな感じなのか で今自分は流体力学のどこらへんのことを勉強しているのか っていうようなことをま常に頭に置いて勉強してくれるようになると まぁ全然違ったふうに見えてくるんじゃないかと思います はいそれではすごく長かったですが採 まで聴いてくれてありがとうございましたお疲れ様でした
